(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]) 设 ${\bf A}$ 为 $s\times n$ 矩阵. 证明: $$\bex s-\rank({\bf E}_s-{\bf A}{\bf A}^T)=n-\rank({\bf E}_n-{\bf A}^T{\bf A}). \eex$$
证明: 由 $$\beex \bea \sex{\ba{cc} {\bf E}_s&-{\bf A}\\ {\bf 0}&{\bf E}_n \ea} \sex{\ba{cc} {\bf E}_s&{\bf A}\\ {\bf A}^T&{\bf E}_n \ea} \sex{\ba{cc} {\bf E}_s&{\bf 0}\\ -{\bf A}^T&{\bf E}_n \ea}&=\sex{\ba{cc} {\bf E}_s-{\bf A}{\bf A}^T&{\bf 0}\\ {\bf 0}&{\bf E}_n \ea},\\ \sex{\ba{cc} {\bf E}_s&{\bf 0}\\ -{\bf A}^T&{\bf E}_n \ea} \sex{\ba{cc} {\bf E}_s&{\bf A}\\ {\bf A}^T&{\bf E}_n \ea} \sex{\ba{cc} {\bf E}_s&-{\bf A}\\ {\bf 0}&{\bf E}_n \ea}&=\sex{\ba{cc} {\bf E}_s&{\bf 0}\\ {\bf 0}&{\bf E}_n-{\bf A}^T{\bf A} \ea} \eea \eeex$$ 知 $$\bex \rank({\bf E}_s-{\bf A}{\bf A}^T)+n=\rank\sex{\ba{cc} {\bf E}_s&{\bf A}\\ {\bf A}^T&{\bf E}_n \ea}=s+\rank({\bf E}_n-{\bf A}^T{\bf A}). \eex$$
