[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]二次型的零点)

(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]) 设 ${\bf A}$ 为实对称矩阵, 存在线性无关的向量 ${\bf x}_1,{\bf x}_2$, 使得 ${\bf x}_1^T{\bf A}{\bf x}_1>0$, ${\bf x}_2^T{\bf A}{\bf x}_2<0$. 证明: 存在线性无关的向量 ${\bf x}_3,{\bf x}_4$ 使得 ${\bf x}_1,{\bf x}_2,{\bf x}_3,{\bf x}_4$ 线性相关, 且 ${\bf x}_3^T{\bf A}\bbx_3={\bf x}_4^T{\bf A}{\bf x}_4=0$.

证明: 设 $f({\bf x},{\bf y})={\bf x}^T{\bf A}{\bf y}$, 则由题意, $$\bee\label{ercixing_1} f({\bf x}_1,{\bf x}_1)>0,\quad f({\bf x}_2,{\bf x}_2)<0. \eee$$考虑二次方程 $$\bee\label{ercixing_2} t^2f({\bf x}_1,{\bf x}_1)+2t f({\bf x}_1,{\bf x}_2)+f({\bf x}_2,{\bf x}_2)=0, \eee$$由 \eqref{ercixing_1} 知其判别式 $$\bex \lap=4f^2({\bf x}_1,{\bf x}_2)-4f({\bf x}_1,{\bf x}_1)f({\bf x}_2,{\bf x}_2)>0, \eex$$ 而有两个不同的根 $t_1,t_2$ ($t_1\neq t_2$). 选取 $$\bex {\bf x}_3=t_1{\bf x}_1+{\bf x}_2,\quad {\bf x}_4=t_2{\bf x}_1+{\bf x}_2, \eex$$ 则由 \eqref{ercixing_2} 知 $$\bex f({\bf x}_3,{\bf x}_3)=f({\bf x}_4,{\bf x}_4)=0, \eex$$ 且易知 ${\bf x}_3,{\bf x}_4$ 线性无关, 但 ${\bf x}_1,{\bf x}_2,{\bf x}_3,{\bf x}_4$ 线性相关.