一. 计算题 ($40'$)
1. $\dps{\lim_{x\to 1}\frac{(x^n-1)(x^{n-1}-1)\cdots(x^{n-k+1}-1)}{(x^1-1)(x^2-1)\cdots (x^k-1)}}$.
2. $\dps{\lim_{x\to0}\frac{ \sqrt[n]{\cos \al x}-\sqrt[m]{\cos\beta x}}{\sin^2x}}$, 其中 $m,n$ 为正整数.
3. $\dps{\vlm{n}\sum_{k=1}^n \sez{\sqrt{1+\frac{k^2}{n^3}}-1}}$.
4. 设 $$\bex 0<x_n\leq x_{n+1}+\frac{1}{n^2}, \eex$$ 讨论极限 $\dps{\vlm{n}x_n}$ 的存在性.
二. ($20'$) 给定曲面 $$\bex F\sex{\frac{x-a}{z-c},\frac{y-b}{z-c}}=0, \eex$$ 其中 $a,b,c$ 为常数, $u=F(s,t)$ 二阶连续可微, 梯度处处不为零. 证明:
(1). 曲面的切平面过一定点.
(2). 函数 $z=z(x,y)$ 满足 $$\bex \frac{\p^2z}{\p x^2}\frac{\p^2z}{\p y^2}-\sex{\frac{\p^2z}{\p x\p y}}^2=0. \eex$$
三. ($20'$) 设 $$\bex a_n>0,\quad \vlm{n}n\sex{\frac{a_n}{a_{n+1}}-1}=\lm>0. \eex$$ 试证: $\dps{\vsm{n}(-1)^{n-1}a_n}$ 收敛.
四. ($15'$) 求极限 $$\bex \lim_{t\to +\infty}e^{-t} \int_0^t\int_0^t \frac{e^x-e^y}{x-y}\rd x\rd y, \eex$$ 或证明此极限不存在.
五.
(1). 求积分 $$\bex \iint_D |\cos (x+y)|\rd x\rd y, \eex$$ 其中 $$\bex D:\ 0\leq x\leq \pi,\ 0\leq y\leq \pi. \eex$$
(2). 设 $0<\al<1$, 求积分 $\dps{\int_0^1 f(t^\al)\rd t}$ 的上确界, 其中连续函数 $f$ 满足 $$\bex \int_0^1 |f(t)|\rd t\leq 1. \eex$$
六. ($25'$) 设 $$\bex f(t)=\int_1^{+\infty} \frac{\cos xt}{1+x^2}\rd x. \eex$$ 证明:
(1). 积分在 $\bbR$ 上一致收敛.
(2). $\dps{\vlm{t}f(t)=0}$.
(3). $f(t)$ 在 $\bbR$ 上一致连续.
(4). $\dps{\int_0^\pi f(t)\sin t\rd t\leq0}$.
(5). $\exists\ \xi \in [0,\pi],\st f(\xi)=0$.
参考解答见家里蹲大学数学杂志.
