[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.17

设在 $\dps{\sex{0,\frac{\pi}{2}}}$ 内连续函数 $f(x)>0$, 且满足

$$\bex f^2(x)=\int_0^x f(t)\frac{\tan t}{\sqrt{1+2\tan^2t}}\rd t. \eex$$ 求 $f(x)$ 的初等函数表达式. (复旦大学)

 

解答:

$$\beex \bea &\quad f^2(x)=\int_0^x f(t)\frac{\tan t}{\sqrt{1+2\tan^2t}}\rd t\\ &\ra 2f(x)f'(x)=f(x)\frac{\tan x}{\sqrt{1+2\tan^2x}}\\ &\ra f'(x)=\frac{\tan x}{2\sqrt{1+2\tan^2x}}\\ &\ra f(x)=\int \frac{\tan x}{2\sqrt{1+2\tan^2x}}\rd x\\ &\quad\quad\quad\quad=\int \frac{1}{s}\cdot \frac{s}{2(1+s^2)}\rd s\quad \sex{s=\sqrt{1+2\tan^2x}}\\ &\quad\quad\quad\quad=\frac{1}{2}\arctan s+C=\frac{1}{2}\arctan \sqrt{1+2\tan^2x}+C. \eea \eeex$$ 再注意到 $\dps{\lim_{x\to 0}f^2(x)=\lim_{x\to 0}\int_0^x f(t)\frac{\tan t}{\sqrt{1+2\tan^2t}}\rd t=0}$, 我们有 $$\bex \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{4}+C=0\ra C=-\frac{\pi}{8}\ra f(x)=\frac{1}{2}\arctan \sqrt{1+2\tan^2x}-\frac{\pi}{8}. \eex$$