[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.4

把满足下述条件 (1) 和 (2) 的实函数 $f$ 的全体记作 $F$:

(1). $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 并且非负;

(2). $f(0)=0$, $f(1)=1$. 试证明: $\dps{\int_{f\in F}\int_0^1 f(x)\rd x=0}$, 但不存在 $\varphi\in F$, 使 $\dps{\int_0^1 \varphi(x)\rd x=0}$. (厦门大学)

证明: 取 $$\bex F\ni f_n(x)=\sedd{\ba{ll} 0,&0\leq x\leq 1-\frac{1}{n}\\ nx-n+1,&1-\frac{1}{n}\leq x\leq 1 \ea}, \eex$$ 则 $$\bex \int_0^1 f_n(x)\rd x=\frac{1}{2n}\to 0\ (n\to\infty), \eex$$ 而 $$\bex \inf_{f\in F}\int_0^1 f(x)\rd x=0. \eex$$ 但 $$\beex \bea f\in F&\ra f(1)=1\ra \exists\ \delta\in(0,1),\st f(x)>\frac{1}{2},\ x\in [1-\delta,1]\\ &\ra \int_0^1 f(x)\rd x\geq \int_{1-\delta}^1 f(x)\rd x>\frac{\delta}{2} >0. \eea \eeex$$