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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.12

2015-05-26 817

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简介： 证明: 若

$f(x)$ 为

$[0,1]$ 上的连续函数, 且对一切

$x\in [0,1]$ 有

$\dps{\int_0^x f(u)\rd u\geq f(x)\geq 0}$ , 则

$f(x)\equiv 0$ .

证明: 若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 且对一切 $x\in [0,1]$ 有 $\dps{\int_0^x f(u)\rd u\geq f(x)\geq 0}$ , 则 $f(x)\equiv 0$ . (上海师范大学)

证明: 设 $\dps{F(x)=\int_0^x f(t)\rd t\geq 0}$ , 则

$\beex \bea 0\leq F'(x)\leq F(x)&\ra \sez{e^{-x}F(x)}'\leq 0\\ &\ra e^{-x}F(x)\leq e^{-0}F(0)=0\ (0\leq x\leq 1)\\ &\ra F(x)\leq 0\ (0\leq x\leq 1)\\ &\ra F(x)=0\ (0\leq x\leq 1)\\ &\ra f(x)=F'(x)=0\ (0\leq x\leq 1). \eea \eeex$

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.19

求

$\dps{\lim_{x\to +\infty} \int_x^{x+2} t\sex{\sin \frac{3}{t}}f(t)\rd t}$ , 其中

$f(x)$ 可微, 且已知

$\dps{\lim_{t\to+\infty}f(t)=1}$ .

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.25

设

$f(x)$ 在

$(a,b)$ 内连续,

$\bex \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^3}\int_0^h [f(x+u)+f(x-u)-2f(x)]\rd u=0,\quad(x\in [a,b]), \eex$ 试证

$f(x)$ 为线性函数.

张祖锦

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张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.14

设

$f(x)$ 处处连续,

$\dps{F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t}$ , 其中

$\delta$ 为任何正数. 证明: (1).

张祖锦

677 0 0

张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.5

若

$f'(x)$ 在

$[0,2\pi]$ 上拦蓄, 且

$f'(x)\geq 0$ , 则对任意正整数

$n$ , 有 $$\bex \sev{\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\rd x}\leq \frac{2[f(2\pi)-f(0)]}{n}.

张祖锦

598 0 0

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机器学习/深度学习

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.20

设

$a_n>0$ ,

$\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛,

$na_n$ 单调, 证明:

$\bex \vlm{n}na_n\ln n=0. \eex$ 证明: 又题意,

$na_n\searrow 0$ .

张祖锦

881 0 0

张祖锦

机器学习/深度学习

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.25

对函数

$\bex \zeta(s)=\vsm{n}\frac{1}{n^s}\quad\sex{s>1}, \eex$ 证明:

$\dps{\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\sez{x}}{x^{s+1}}\rd x}$ , 其中

$\sez{x}$ 为

$x$ 的整数部分.

张祖锦

662 0 0

张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.15

设

$\varphi(x)$ 是

$(-\infty,+\infty)$ 上的连续周期函数, 周期为

$1$ , 且

$\dps{\int_0^1 \varphi(x)\rd x=0}$ ,

$f(x)$ 在

$[0,1]$ 上可微, 且有连续的一阶导数, $$\bex a_n=\int_0^1 f(x)\varphi(nx)\rd x,\quad n=1,2,\cdots.

张祖锦

906 0 0

张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.8

设正项级数

$\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛. 证明: 级数

$\bex \vsm{n}\frac{a_n}{\sqrt{r_{n-1}}+\sqrt{r_n}} \eex$ 仍收敛, 其中 $$\bex r_n=\sum_{k=n+1}^\infty a_k.

张祖锦

784 0 0

张祖锦

Perl

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.2

设

$\sed{a_n}$ 为等差数列,

$a_{n+1}-a_n=d>0\ (n=1,2,\cdots)$ ,

$m$ 为一正整数. 计算 $$\bex S=\vsm{n}\frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}\cdots a_{n+m}}.

张祖锦

936 0 0

张祖锦

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.5

证明: 若删去调和级数中所有分母含有数字

$9$ 的项, 则新级数收敛, 且和小于

$80$ . 证明: 对

$m=1,2,\cdots$ ,

$[10^{m-1},10^m)$ 中的自然数的十进制表示中没有

$9$ 的个数为

$8\cdot 9^{m-1}$ (除首位可能为 $1,2,\cdo...

张祖锦

1003 0 0

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.12

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