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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.12

2015-05-26 787

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简介： 证明: 若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 且对一切 $x\in [0,1]$ 有 $\dps{\int_0^x f(u)\rd u\geq f(x)\geq 0}$, 则 $f(x)\equiv 0$.

证明: 若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 且对一切 $x\in [0,1]$ 有 $\dps{\int_0^x f(u)\rd u\geq f(x)\geq 0}$, 则 $f(x)\equiv 0$. (上海师范大学)

证明: 设 $\dps{F(x)=\int_0^x f(t)\rd t\geq 0}$, 则 $$\beex \bea 0\leq F'(x)\leq F(x)&\ra \sez{e^{-x}F(x)}'\leq 0\\ &\ra e^{-x}F(x)\leq e^{-0}F(0)=0\ (0\leq x\leq 1)\\ &\ra F(x)\leq 0\ (0\leq x\leq 1)\\ &\ra F(x)=0\ (0\leq x\leq 1)\\ &\ra f(x)=F'(x)=0\ (0\leq x\leq 1). \eea \eeex$$

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.18

设 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{1}{bx-\sin x}\int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{a+t^2}}\rd t=1}$, 试求正常数 $a$ 与 $b$. (华中师范大学) 解答: 由 $$\beex \bea 1&=\lim_{x\to 0}\...

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.14

设 $f(x)$ 处处连续, $\dps{F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t}$, 其中 $\delta$ 为任何正数. 证明: (1).

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.4

把满足下述条件 (1) 和 (2) 的实函数 $f$ 的全体记作 $F$: (1). $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 并且非负; (2). $f(0)=0$, $f(1)=1$.

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.21

设数 $a>0$, $\sed{p_n}$ 是一个数列, 并且 $p_n>0$, $p_{n+1}\geq p_n$. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a} \eex$$ 收敛.

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.19

设 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收敛, $0

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.22

举出一个收敛级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 的例子, 使级数 $\dps{\vsm{n}a_n\ln n}$ 发散. 解答: 取 $\dps{a_n=\frac{1}{n\ln n\ln^2\ln n}}$, 则由 $$\bex \int_{e^e}^\infty \frac{1...

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.25

对函数 $$\bex \zeta(s)=\vsm{n}\frac{1}{n^s}\quad\sex{s>1}, \eex$$ 证明: $\dps{\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\sez{x}}{x^{s+1}}\rd x}$, 其中 $\sez{x}$ 为 $x$ 的整数部分.

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.18

设 $f(x)$ 是在 $(-\infty,+\infty)$ 内的可微函数, 且满足: (1). $f(x)>0$; (2). $|f'(x)|\leq m|f(x)|$, 其中 $0

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.9

证明: 若有 $\al>0$, 使当 $n\geq n_0$ 时, $\dps{\frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n}\geq 1+\al\ (a_n>0)}$, 则级数 $\dps{\vsm{n}a_n\ (a_n>0)}$ 收敛; 若 $n\geq n_0$ 时, $\d...

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[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.12

设 $02$ 时, $\dps{\vsm{n}x_n^p}$ 才收敛.

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