🎋前言
动态规划相关题目都可以参考以下五个步骤进行解答：
后面题的解答思路也将按照这五个步骤进行讲解。
🎋最大子数组和
🚩题目描述
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组是数组中的一个连续部分。
- 示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。 - 示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1 - 示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23
class Solution { public int maxSubArray(int[] nums) { } }
🚩算法思路
- 状态表示：
对于线性 dp ，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表示：
- 以某个位置为结尾，进行一系列操作；
- 以某个位置为起点，进行一系列操作。
这⾥我们选择比较常用的方式，以「某个位置为结尾」，结合「题目要求」，定义⼀个状态表示：
dp[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的「所有⼦数组」中和的最⼤和。
- 状态转移⽅程：
dp[i] 的所有可能可以分为以下两种：
- 子数组的长度为 1 ：此时 dp[i] = nums[i] ；
- 子数组的长度⼤大于 1 ：此时 dp[i] 应该等于 以 i - 1 做结尾的「所有⼦数组」中和 的最⼤值再加上 nums[i] ，也就是 dp[i - 1] + nums[i] 。
由于我们要的是「最大值」，因此应该是两种情况下的最⼤值，因此可得转移⽅程：
- dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i]) 。
- 初始化：
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：
- 辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」；
- 「下标的映射关系」。
在本题中，最前⾯加上⼀个格⼦，并且让 dp[0] = 0 即可。
- 填表顺序
根据「状态转移⽅程」易得，填表顺序为「从左往右」。
- 返回值：
状态表示为「以 i 为结尾的所有⼦数组」的最⼤值，但是最大子数组和的结尾我们是不确定的。
因此我们需要返回整个 dp 表中的最⼤值。
🚩代码实现
class Solution { public int maxSubArray(int[] nums) { int[] dp = new int[nums.length + 1]; int ret = Integer.MIN_VALUE; for (int i = 1; i < dp.length; i++) { dp[i] = Math.max(nums[i -1],dp[i - 1] + nums[i - 1]); ret = Math.max(ret,dp[i]); } return ret; } }
🌴环形子数组的最大和
🚩题目描述
给定一个长度为 n 的环形整数数组 nums ，返回 nums 的非空 子数组 的最大可能和 。
环形数组 意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， nums[i] 的下一个元素是 nums[(i + 1) % n] ， nums[i] 的前一个元素是 nums[(i - 1 + n) % n] 。
子数组 最多只能包含固定缓冲区 nums 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 nums[i], nums[i + 1], …, nums[j] ，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % n == k2 % n 。
- 示例 1：
输入：nums = [1,-2,3,-2]
输出：3
解释：从子数组 [3] 得到最大和 3 - 示例 2：
输入：nums = [5,-3,5]
输出：10
解释：从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10 - 示例 3：
输入：nums = [3,-2,2,-3]
输出：3
解释：从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3
class Solution { public int maxSubarraySumCircular(int[] nums) { } }
🚩算法思路：
本题与「最大子数组和」的区别在于，考虑问题的时候不仅要分析「数组内的连续区域」，还要考虑「数组⾸尾相连」的⼀部分。结果的可能情况分为以下两种：
- 结果在数组的内部，包括整个数组；
- 结果在数组首尾相连的⼀部分上。
其中，对于第⼀种情况，我们仅需按照「最大子数组和」的求法就可以得到结果，记为 fmax 。
对于第⼆种情况，我们可以分析⼀下：
- 如果数组⾸尾相连的⼀部分是最⼤的数组和，那么数组中间就会空出来⼀部分；
- 因为数组的总和 sum 是不变的，那么中间连续的⼀部分的和⼀定是最小的；
因此，我们就可以得出⼀个结论，对于第⼆种情况的最⼤和，应该等于 sum - gmin ，其中gmin 表⽰数组内的「最⼩⼦数组和」。
两种情况下的最⼤值，就是我们要的结果。
但是，由于数组内有可能全部都是负数，第⼀种情况下的结果是数组内的最⼤值（是个负数），第⼆种情况下的 gmin == sum ，求的得结果就会是 0 。
若直接求两者的最⼤值，就会是 0 。但是实际的结果应该是数组内的最⼤值。对于这种情况，我们需要特殊判断⼀下。
由于「最⼤⼦数组和」的⽅法已经讲过，这⾥只提⼀下「最⼩⼦数组和」的求解过程，其实与「最⼤⼦数组和」的求法是⼀致的。⽤ f 表⽰最⼤和， g 表⽰最⼩和。
- 状态表示：
g[i] 表⽰：以 i 做结尾的「所有⼦数组」中和的最⼩值。
- 状态转移⽅程：
g[i] 的所有可能可以分为以下两种：
- ⼦数组的⻓度为 1 ：此时 g[i] = nums[i] ；
- ⼦数组的⻓度⼤于 1 ：此时 g[i] 应该等于 以 i - 1 做结尾的「所有⼦数组」中和的最⼩值再加上 nums[i] ，也就是 g[i - 1] + nums[i] 。
由于我们要的是最⼩⼦数组和，因此应该是两种情况下的最⼩值，因此可得转移⽅程：
- g[i] = min(nums[i], g[i - 1] + nums[i]) 。
- 初始化：
可以在最前⾯加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
- 辅助结点⾥⾯的值要保证后续填表是正确的；
- 下标的映射关系。
在本题中，最前⾯加上⼀个格⼦，并且让 g[0] = 0 即可。
- 填表顺序：
根据状态转移⽅程易得，填表顺序为「从左往右」。
- 返回值：
- 先找到 f 表⾥⾯的最⼤值 -> fmax ；
- 找到 g 表⾥⾯的最⼩值 -> gmin ；
- 统计所有元素的和 -> sum ；
- 返回 sum == gmin ? fmax : max(fmax, sum - gmin)
🚩代码实现
public int maxSubarraySumCircular(int[] nums) { // 1. 创建 dp 表 // 2. 初始化 // 3. 填表 // 4. 返回值 int n = nums.length; int[] f = new int[n + 1]; int[] g = new int[n + 1]; int sum = 0; int fmax = Integer.MIN_VALUE; int gmin = Integer.MAX_VALUE; for(int i = 1; i <= n; i++) { int x = nums[i - 1]; f[i] = Math.max(x, x + f[i - 1]); fmax = Math.max(fmax, f[i]); g[i] = Math.min(x, x + g[i - 1]); gmin = Math.min(gmin, g[i]); sum += x; } return sum == gmin ? fmax : Math.max(fmax, sum - gmin); }
🌲乘积最大子数组
🚩题目描述
给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续
子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。
测试用例的答案是一个 32-位 整数。
- 示例 1:
输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。 - 示例 2:
输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。
class Solution { public int maxProduct(int[] nums) { } }
🚩算法思路：
这道题与「最大子数组和] 非常相似，我们可以效仿着定义⼀下状态表⽰以及状态转移：
- dp[i] 表示以 i 为结尾的所有子数组的最⼤乘积，
- dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] * nums[i]) ；
由于正负号的存在，我们很容易就可以得到，这样求 dp[i] 的值是不正确的。因为 dp[i - 1] 的信息并不能让我们得到 dp[i] 的正确值。
比如数组 [-2, 5, -2] ，用上述状态转移得到的 dp数组为 [-2, 5, -2] ，最⼤乘积为 5 。但是实际上的最⼤乘积应该是所有数相乘，结果为 20 。
究其原因，就是因为我们在求 dp[2] 的时候，因为 nums[2] 是⼀个负数，因此我们需要的是「 i - 1 位置结尾的最⼩的乘积 （-10） 」，这样⼀个负数乘以「最⼩值」，才会得到真实的最⼤值。
因此，我们不仅需要⼀个「乘积最⼤值的 dp 表」，还需要⼀个「乘积最⼩值的 dp 表」。
- 状态表⽰：
f[i] 表⽰：以 i 结尾的所有⼦数组的最⼤乘积，
g[i] 表⽰：以 i 结尾的所有⼦数组的最⼩乘积。
- 状态转移⽅程：
遍历每⼀个位置的时候，我们要同步更新两个 dp 数组的值。
对于 f[i] ，也就是「以 i 为结尾的所有⼦数组的最⼤乘积」，对于所有⼦数组，可以分为下⾯三种形式：
- ⼦数组的⻓度为 1 ，也就是 nums[i] ；
- ⼦数组的⻓度⼤于 1 ，但 nums[i] > 0 ，此时需要的是 i - 1 为结尾的所有⼦数组的最⼤乘积 f[i - 1] ，再乘上 nums[i] ，也就是 nums[i] * f[i - 1] ；
- ⼦数组的⻓度⼤于 1 ，但 nums[i] < 0 ，此时需要的是 i - 1 为结尾的所有⼦数组的最⼩乘积 g[i - 1] ，再乘上 nums[i] ，也就是 nums[i] * g[i - 1] ；（如果 nums[i] = 0 ，所有⼦数组的乘积均为 0 ，三种情况其实都包含了）
综上所述， f[i] = max(nums[i], max(nums[i] * f[i - 1], nums[i] * g[i -
1]) )。
对于 g[i] ，也就是「以 i 为结尾的所有⼦数组的最⼩乘积」，对于所有⼦数组，可以分为下⾯三种形式：
- 子数组的⻓度为 1 ，也就是 nums[i] ；
- 子数组的⻓度⼤于 1 ，但 nums[i] > 0 ，此时需要的是 i - 1 为结尾的所有子数组的最⼩乘积 g[i - 1] ，再乘上 nums[i] ，也就是 nums[i] * g[i - 1] ；
- 子数组的长度度⼤于 1 ，但 nums[i] < 0 ，此时需要的是 i - 1 为结尾的所有子数组的最⼤乘积 f[i - 1] ，再乘上 nums[i] ，也就是 nums[i] * f[i - 1] ；
综上所述， g[i] = min(nums[i], min(nums[i] * f[i - 1], nums[i] * g[i - 1])) 。
（如果 nums[i] = 0 ，所有⼦数组的乘积均为 0 ，三种情况其实都包含了）
- 初始化：
可以在最前面加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
- 辅助结点里面的值要保证后续填表是正确的；
- 下标的映射关系。
在本题中，最前⾯加上⼀个格⼦，并且让 f[0] = g[0] = 1 即可。
- 填表顺序：
根据状态转移⽅程易得，填表顺序为「从左往右，两个表⼀起填」。
- 返回值：
返回 f 表中的最⼤值
🚩代码实现
class Solution { public int maxProduct(int[] nums) { // 1. 创建 dp 表 // 2. 初始化 // 3. 填表 // 4. 返回值 int n = nums.length; int[] f = new int[n + 1]; int[] g = new int[n + 1]; f[0] = 1; g[0] = 1; int ret = Integer.MIN_VALUE; for(int i = 1; i <= n; i++) { int x = nums[i - 1]; int y = f[i - 1] * nums[i - 1]; int z = g[i - 1] * nums[i - 1]; f[i] = Math.max(x, Math.max(y, z)); g[i] = Math.min(x, Math.min(y, z)); ret = Math.max(ret, f[i]); } return ret; } }
⭕总结
关于《【算法优选】 动态规划之子数组、子串系列——壹》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！
