🎋前言
动态规划相关题目都可以参考以下五个步骤进行解答：
- 状态表示
- 状态转移⽅程
- 初始化
- 填表顺序
- 返回值
后面题的解答思路也将按照这五个步骤进行讲解。
🌴买卖股票的最佳时机含冷冻期
🚩题目描述
给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 示例 1:
输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出] - 示例 2:
输入: prices = [1]
输出: 0
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { } }
🚩算法思路：
🎈状态表示：
对于线性dp ，我们可以⽤「经验+题⽬要求」来定义状态表示：
- 以某个位置为结尾…；
- 以某个位置为起点…。
这里我们选择比较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题目要求，定义⼀个状态表⽰：
由于有「买⼊」「可交易」「冷冻期」三个状态，因此我们可以选择⽤三个数组，其中：
- dp[i][0] 表⽰：第 i 天结束后，处于「买⼊」状态，此时的最⼤利润；
- dp[i][1]表⽰：第 i 天结束后，处于「可交易」状态，此时的最⼤利润；
- dp[i][2] 表⽰：第 i 天结束后，处于「冷冻期」状态，此时的最⼤利润。
🎈状态转移方程：
我们要谨记规则：
- 处于「买⼊」状态的时候，我们现在有股票，此时不能买股票，只能继续持有股票，或者卖出股票；
- 处于「卖出」状态的时候：
- 如果「在冷冻期」，不能买⼊；
- 如果「不在冷冻期」，才能买⼊。
对于 dp[i][0] ，我们有「两种情况」能到达这个状态：
- 在 i - 1 天持有股票，此时最⼤收益应该和 i - 1 天的保持⼀致： dp[i - 1][0] ；
- 在 i 天买⼊股票，那我们应该选择 i - 1 天不在冷冻期的时候买⼊，由于买⼊需要花钱，所以此时最⼤收益为： dp[i - 1][1] - prices[i]
两种情况应取最⼤值，因此： dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]) 。
对于 dp[i][1] ，我们有「两种情况」能到达这个状态：
- 在 i - 1 天的时候，已经处于冷冻期，然后啥也不⼲到第 i 天，此时对应的状态为：dp[i - 1][2] ；
- 在 i - 1 天的时候，⼿上没有股票，也不在冷冻期，但是依旧啥也不干到第 i 天，此时对应的状态为 dp[i - 1][1] ；
两种情况应取最⼤值，因此： dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) 。
对于 dp[1][i] ，我们只有「⼀种情况」能到达这个状态：
- 在 i - 1 天的时候，卖出股票。
- 因此对应的状态转移为： dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]
🎈初始化：
三种状态都会用到前⼀个位置的值，因此需要初始化每⼀行的第⼀个位置：
- dp[0][0] ：此时要想处于「买⼊」状态，必须把第⼀天的股票买了，因此 dp[0][0] = -prices[0] ；
- dp[0][1] ：啥也不用干即可，因此 dp[0][1] = 0 ；
- dp[0][2] ：⼿上没有股票，买⼀下卖⼀下就处于冷冻期，此时收益为 0 ，因此 dp[0][2]= 0 。
🎈填表顺序：
根据「状态表示」，我们要三个表⼀起填，每⼀个表「从左往右」。
🎈返回值：
应该返回「卖出状态」下的最⼤值，因此应该返回 max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2])
🚩代码实现
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { int n = prices.length; int[][] dp = new int[n][3]; dp[0][0] = - prices[0]; for(int i = 1; i < n; i++) { dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]); dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]; } return Math.max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]); } }
🍃买卖股票的最佳时期含手续费（medium）
🚩题目描述
给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
- 示例 1：
输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8 - 示例 2：
输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
输出：6
class Solution { public int maxProfit(int[] prices, int fee) { } }
🚩算法思路
🎈状态表示：
对于线性 dp ，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表⽰：
- 以某个位置为结尾，进行操作；
- 以某个位置为起点，进行操作。
这里我们选择比较常用的方式，以某个位置为结尾，结合题目要求，定义⼀个状态表示：
由于有「买⼊」「可交易」两个状态，因此我们可以选择用两个数组，其中：
- f[i] 表示：第 i 天结束后，处于「买⼊」状态，此时的最大利润；
- g[i] 表示：第 i 天结束后，处于「卖出」状态，此时的最大利润。
🎈状态转移方程：
我们选择在「卖出」的时候，支付这个手续费，那么在「买入」的时候，就不⽤再考虑⼿续费的问题。
对于 f[i] ，我们有两种情况能到达这个状态：
- 在 i - 1 天「持有」股票，第 i 天啥也不干。此时最⼤收益为 f[i - 1] ；
- 在 i - 1 天的时候「没有」股票，在第 i 天买⼊股票。此时最⼤收益为 g[i - 1] - prices[i])
两种情况下应该取最大值，因此 f[i] = max(f[i - 1], g[i - 1] -prices[i]) 。
对于 g[i] ，我们也有两种情况能够到达这个状态：
- 在 i - 1 天「持有」股票，但是在第 i 天将股票卖出。此时最大收益为： f[i - 1]+ prices[i] - fee) ，记得手续费；
- 在 i - 1 天「没有」股票，然后第 i 天啥也不干。此时最大收益为： g[i - 1] ；
两种情况下应该取最大值，因此 g[i] = max(g[i - 1], f[i - 1] + prices[i] - free) 。
class Solution { public int maxProfit(int[] prices, int fee) { int[] f = new int[prices.length]; int[] g = new int[prices.length]; f[0] = -prices[0]; for (int i = 1; i < prices.length; i++) { f[i] = Math.max(f[i - 1],g[i - 1] - prices[i]); g[i] = Math.max(g[i - 1], f[i - 1] + prices[i] - fee); } return g[prices.length - 1]; } }
🎈初始化：
由于需要用到前面的状态，因此需要初始化第⼀个位置。
- 对于 f[0] ，此时处于「买入」状态，因此 f[0] = -prices[0] ；
- 对于 g[0] ，此时处于「没有股票」状态，啥也不干即可获得最大收益，因此 g[0] = 0
🎈填表顺序：
毫⽆疑问是「从左往右」，但是两个表需要⼀起填。
🎈返回值：
应该返回「卖出」状态下，最后⼀天的最大值收益： g[n - 1]
🚩代码实现
class Solution { public int maxProfit(int[] prices, int fee) { int[] f = new int[prices.length]; int[] g = new int[prices.length]; f[0] = -prices[0]; for (int i = 1; i < prices.length; i++) { f[i] = Math.max(f[i - 1],g[i - 1] - prices[i]); g[i] = Math.max(g[i - 1], f[i - 1] + prices[i] - fee); } return g[prices.length - 1]; } }
🌳买卖股票的最佳时机 III
🚩题目描述
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
-示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。 - 示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。 - 示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { } }
🚩算法思路
🎈状态表示：
对于线性 dp ，我们可以⽤「经验 + 题目要求」来定义状态表示：
- 以某个位置为结尾，进行一系列操作；
- 以某个位置为起点，进行一系列操作。
这里我们选择比较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题目要求，定义⼀个状态表⽰：
由于有「买⼊」「可交易」两个状态，因此我们可以选择用两个数组。但是这道题⾥⾯还有交易次数的限制，因此我们还需要再加上⼀维，用来表示交易次数。其中：
- f[i][j] 表⽰：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「买⼊」状态，此时的最⼤利润；
- g[i][j] 表⽰：第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于「卖出」状态，此时的最⼤利润。
🎈状态转移方程：
对于 f[i][j] ，我们有两种情况到这个状态：
- 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「买⼊」状态，第 i 天啥也不干即可。此时最大利润为： f[i - 1][j] ；
- 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天的时候把股票买了。此时的最⼤利润为： g[i - 1][j] - prices[i] 。
综上，我们要的是「最⼤利润」，因此是两者的最⼤值： f[i][j] = max(f[i - 1][j],g[i - 1][j] - prices[i]) 。
对于 g[i][j] ，我们也有两种情况可以到达这个状态：
- 在 i - 1 天的时候，交易了 j 次，处于「卖出」状态，第 i 天啥也不⼲即可。此时的最大利润为： g[i - 1][j] ；
- 在 i - 1 天的时候，交易了 j - 1 次，处于「买⼊」状态，第 i 天把股票卖了，然后就完成了 j ⽐交易。此时的最⼤利润为： f[i - 1][j - 1] + prices[i] 。但是这个状态不⼀定存在，要先判断⼀下。
综上，我们要的是最⼤利润，因此状态转移方程为：
g[i][j] = g[i - 1][j]; if(j >= 1) { g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]); }
🎈初始化：
由于需要用到 i = 0 时的状态，因此我们初始化第⼀行即可。
- 当处于第 0 天的时候，只能处于「买⼊过⼀次」的状态，此时的收益为 -prices[0] ，因此 f[0][0] = - prices[0] 。
- 为了取 max 的时候，⼀些不存在的状态「起不到干扰」的作用，我们统统将它们初始化为 - INF （用 INT_MIN 在计算过程中会有「溢出」的风险，这⾥ INF 折半取0x3f3f3f3f ，足够小即可）
🎈填表顺序：
从「上往下填」每⼀行，每⼀行「从左往右」，两个表「⼀起填」。
🎈返回值：
返回处于「卖出状态」的最⼤值，但是我们也「不知道是交易了⼏次」，因此返回 g 表最后⼀行的最大值。
🚩代码实现
class Solution { public int maxProfit(int[] prices) { // 1. 创建 dp 表 // 2. 初始化 // 3. 填表 // 4. 返回值 int INF = 0x3f3f3f3f; int n = prices.length; int[][] f = new int[n][3]; int[][] g = new int[n][3]; for(int j = 0; j < 3; j++) { f[0][j] = g[0][j] = -INF; } f[0][0] = -prices[0]; g[0][0] = 0; for(int i = 1; i < n; i++) { for (int j = 0; j < 3; j++) { f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]); g[i][j] = g[i - 1][j]; // 判断状态是否存在 if (j - 1 >= 0) { g[i][j] = Math.max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]); } } } //找出最后一行的最大值 int ret = 0; for(int j = 0; j < 3; j++) { ret = Math.max(ret, g[n - 1][j]); } return ret; } }
⭕总结
关于《【算法优选】 动态规划之简单多状态dp问题——贰》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！
