数据结构~~二叉树-堆

简介: 树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。

一、基本概念


树的概念

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。 有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点 除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<=i=M),又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继 因此,树是递归定义的。

树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构


1.2树的相关概念: 

度节点的:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6


叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点


非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点


双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点


孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点


兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点


树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6


节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;


树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4


堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点


节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先


子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙


森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;

二叉树-堆的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合: 1. 或者为空 2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出:1. 二叉树不存在度大于2的结点 2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

2.二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 个结点.


2. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是 .


3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 = +1


4. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h= . (ps: 是log以2 为底,n+1为对数)


5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对 于序号为i的结点有:


1. 若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点


2. 若2i+1,左孩子序号:2i+1,2i+1>=n否则无左孩子


3. 若2i+2,右孩子序号:2i+2,2i+2>=n否则无右孩子

3.堆的概念

如果有一个关键码的集合K = { , , ,…, },把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中,并满足: 且 = 且 >= ) i = 0,1, 2…,则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。 堆的性质: 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值; 堆总是一棵完全二叉树。  

二、堆的结构


typedef int HPDateType;
typedef struct Heap
{
  HPDateType* a;  
  int size;
  int capacity;
}HP;

初始化堆

void HeapInit(HP* php)
{
  assert(php);
  php->a = NULL;
  php->capacity = 0;
  php->size = 0;
}

摧毁堆

void HeapDestroy(HP* php)
{
  assert(php);
  free(php->a);
  php->a = NULL;
  php->capacity = php->size = 0;
}

向上调整

void AdjustUP(HPDateType* a, int child)
{
  int parent = (child - 1) / 2;
  while (child>0)
  {
    if (a[parent] > a[child])
    {
      HPDateType tmp = a[child];
      a[child] = a[parent];
      a[parent] = tmp;
 
      child = parent;
      parent = (child - 1) / 2;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}

向下调整

void AdjustDown(int* a,int n,int parent)
{
  int child = parent * 2 + 1;
  while (child < n)
  {
    if (child+1 < n && a[child + 1] < a[child])
    {
      child++;
    }
    if (a[child] < a[parent])
    {
      Swap(&a[parent],&a[child]);
      parent = child;
      child = parent * 2 + 1;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}

插入数据

void HeapPush(HP* php, HPDateType x) 
{
  assert(php);
  if (php->size == php->capacity)
  {
    int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
    HPDateType* tmp = (HPDateType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDateType));
    if (tmp == NULL)
    {
      perror("realloc err");
      return;
    }
    php->a = tmp;
    php->capacity = newCapacity;
  }
  php->a[php->size] = x;
  php->size++;
  AdjustUP(php->a,php->size-1);
}

删除数据

void HeapPop(HP* php)
{
  assert(php);
  assert(!HeapEmpty(php));
  Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);
  php->size--;
  AdjustDown(php->a,php->size,0);
 
}

获取堆顶元素

HPDateType HeapTop(HP* php)
{
  assert(php);
  assert(!HeapEmpty(php));
  return php->a[0];
}

判断堆是否为空

bool HeapEmpty(HP* php)
{
  assert(php);
  return php->size == 0;
}

获取堆的长度

int HeapSize(HP* php)
{
  assert(php);
  assert(!HeapEmpty(php));
  return php->size;
}

三、堆排序


向上调整建堆

1.升序建大堆

// 对数组进行堆排序
void AdjustUP(HPDateType* a, int child)
{
  int parent = (child - 1) / 2;
  while (child>0)
  {
    if (a[parent] > a[child])
    {
      HPDateType tmp = a[child];
      a[child] = a[parent];
      a[parent] = tmp;
 
      child = parent;
      parent = (child - 1) / 2;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
void HeapSort(int* a, int n)
{
  //建堆小堆
  for (int i = 1; i < n; i++)
  {
    AdjustUP(a, i);
  }
  int end = n - 1;
  //排序升序
  while (end > 0)
  {
    Swap(&a[0],&a[end]);
    AdjustDown(a, end, 0);
    end--;
  }
}
void test()
{
  int arr[] = { 58,5,28,95,62,65,89,85,61,88,90,78,86,87 ,236,1 };
  HeapSort(arr, sizeof(arr) / sizeof(arr[0]));
  for (int i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); i++)
  {
    printf("%d ",arr[i]);
  }
}
int main()
{
   test();
}

建堆后:

排序后 :

2.降序建小堆

// 对数组进行堆排序
void AdjustDown(int* a,int n,int parent)
{
  int child = parent * 2 + 1;
  while (child < n)
  {
    if (child+1 < n && a[child + 1] < a[child])
    {                             //控制大小堆
      child++;
    }
    if (a[child] < a[parent])
    {         //控制大小堆
      Swap(&a[parent],&a[child]);
      parent = child;
      child = parent * 2 + 1;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
void AdjustUP(HPDateType* a, int child)
{
  int parent = (child - 1) / 2;
  while (child>0)
  {
    if (a[parent] > a[child])
    {       //控制建大小堆
      HPDateType tmp = a[child];
      a[child] = a[parent];
      a[parent] = tmp;
 
      child = parent;
      parent = (child - 1) / 2;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
void HeapSort(int* a, int n)
{
  for (int i = 1; i < n; i++)
  {
    AdjustUP(a, i);
  }
  int end = n - 1;
  while (end > 0)
  {
    Swap(&a[0], &a[end]);
    AdjustDown(a, end, 0);
    end--;
  }
}
void test()
{
  int arr[] = { 58,5,28,95,62,65,89,85,61,88,90,78,86,87 ,236,1 };
  HeapSort(arr, sizeof(arr) / sizeof(arr[0]));
  for (int i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); i++)
  {
    printf("%d ",arr[i]);
  }
}
int main()
{
   test();
}

建堆后 :

排序后:

向下调整建堆

void AdjustDown(int* a,int n,int parent)
{
  int child = parent * 2 + 1;
  while (child < n)
  {
    if (child+1 < n && a[child + 1] > a[child])
    {                             //控制大小堆
      child++;
    }
    if (a[child] > a[parent])
    {         //控制大小堆
      Swap(&a[parent],&a[child]);
      parent = child;
      child = parent * 2 + 1;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
void HeapSort(int* a, int n)
{
  for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
  {
    AdjustDown(a, n, i);
  }
  int end = n - 1;
  while (end > 0) //n*logn
  {
    Swap(&a[0], &a[end]);
    AdjustDown(a, end, 0);
    end--;
  }
}
void test()
{
  int arr[] = { 58,5,28,95,62,65,89,85,61,88,90,78,86,87 ,236,1 };
  HeapSort(arr, sizeof(arr) / sizeof(arr[0]));
  for (int i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); i++)
  {
    printf("%d ", arr[i]);
  }
}
int main()
{ 
    test();
}

建堆:

排序后:

向上调整建堆和向下调整建堆的时间复杂度有所不同。

向上调整建堆的时间复杂度为。O(N*logN)

向下调整建堆的时间复杂度为。O(N)

在实际应用中,通常采用向下调整建堆的方式,因为它的时间复杂度较低。但在某些特定情况下,向上调整建堆也可能会被使用。

四、TOP-K


思路:


topk 问题是指在一组数据中,找出前 k 个最大或最小的元素。以下是解决 topk 问题的思路和算法:


建立最小堆或最大堆:使用堆数据结构来解决 topk 问题。可以先建立一个大小为 k 的最小堆或最大堆,然后依次将剩余的元素与堆顶元素进行比较。如果元素大于或小于堆顶元素,则将其替换堆顶元素,并重新调整堆。最后,堆中的元素就是前 k 个最大或最小的元素。这种方法的时间复杂度为O(NlogK)


当N远比K大是时间复杂度为O(N)


在实际应用中,需要根据具体情况选择合适的算法来解决 topk 问题。如果数据量较小,可以使用简单的排序算法或堆算法

typedef int HPDateType;
void Swap(HPDateType* p1, HPDateType* p2)
{
  HPDateType tmp = *p1;
  *p1 = *p2;
  *p2 = tmp;
}
//向下调整
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
  int child = parent * 2 + 1;
  while (child < n)
  {
    if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
    {                             //控制大小堆
      child++;
    }
    if (a[child] < a[parent])
    {         //控制大小堆
      Swap(&a[parent], &a[child]);
      parent = child;
      child = parent * 2 + 1;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
void CreateNDate()
{
  // 造数据
  int n = 10000;
  srand(time(0));
  const char* file = "data.txt";
  FILE* fin = fopen(file, "w");
  if (fin == NULL)
  {
    perror("fopen error");
    return;
  }
 
  for (size_t i = 0; i < n; ++i)
  {
    int x = (rand()+i) % 1000000;
    fprintf(fin, "%d\n", x);
  }
 
  fclose(fin);
}
 
void PrintTopK()
{
  int k = 0;
  printf("请输入k的值:");
  scanf("%d", &k);
  int* kminheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
  if (kminheap == NULL)
  {
    perror("malloc file");
    return;
  }      
  const char* file = "data.txt";
  FILE* fout = fopen(file, "r");
  if (fout == NULL)
  {
    perror("fopen error");
    return;
  }
  for (int i = 0; i < k; i++)  //写前k个数据
  {
    fscanf(fout,"%d", &kminheap[i]);
  }
             //最后的结点的根
  for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)  //建堆
  {
    AdjustDown(kminheap,k,i);
  }
  int x = 0;
  while (fscanf(fout,"%d", &x) > 0)
  {
    if (x > kminheap[0])
    {
      kminheap[0] = x;
      AdjustDown(kminheap,k,0);
    }
  }
  printf("最大的前k个是:");
  for (int i = 0; i < k; i++)
  {
    printf("%d ",kminheap[i]);
  }
}
int main()
{
    CreateNDate();
  PrintTopK();
}

void CreateNDate()在这个函数生成完一百万个数据时可以在手动添加最大数据,检查代码是否正确

五、完整代码


Heap.h

#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
typedef int HPDateType;
typedef struct Heap
{
  HPDateType* a;
  int size;
  int capacity;
}HP;
 
 
void HeapInit(HP* php);//初始化堆
void HeapDestroy(HP* php);//摧毁堆
 
void HeapPush(HP* php,HPDateType x);//插入堆
void HeapPop(HP* php);//删除堆
 
HPDateType HeapTop(HP* php);//获取堆顶的元素
bool HeapEmpty(HP* php);//堆是否为空
int HeapSize(HP* php);//堆的长度
 
void AdjustDown(int* a, int n, int parent);//向下调整
void AdjustUP(HPDateType* a, int child);//向上调整

Heap.c 

#include"Heap.h"
 
void HeapInit(HP* php)
{
  assert(php);
  php->a = NULL;
  php->capacity = 0;
  php->size = 0;
}
void Swap(HPDateType* p1, HPDateType* p2)
{
  HPDateType tmp = *p1;
  *p1 = *p2;
  *p2 = tmp;
}
void HeapDestroy(HP* php)
{
  assert(php);
  free(php->a);
  php->a = NULL;
  php->capacity = php->size = 0;
}
void AdjustDown(int* a,int n,int parent)
{
  int child = parent * 2 + 1;
  while (child < n)
  {
    if (child+1 < n && a[child + 1] < a[child])
    {
      child++;
    }
    if (a[child] < a[parent])
    {
      Swap(&a[parent],&a[child]);
      parent = child;
      child = parent * 2 + 1;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
void AdjustUP(HPDateType* a, int child)
{
  int parent = (child - 1) / 2;
  while (child>0)
  {
    if (a[parent] > a[child])
    {
      HPDateType tmp = a[child];
      a[child] = a[parent];
      a[parent] = tmp;
 
      child = parent;
      parent = (child - 1) / 2;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
void HeapPush(HP* php, HPDateType x) 
{
  assert(php);
  if (php->size == php->capacity)
  {
    int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
    HPDateType* tmp = (HPDateType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDateType));
    if (tmp == NULL)
    {
      perror("realloc err");
      return;
    }
    php->a = tmp;
    php->capacity = newCapacity;
  }
  php->a[php->size] = x;
  php->size++;
  AdjustUP(php->a,php->size-1);
}
void HeapPop(HP* php)
{
  assert(php);
  assert(!HeapEmpty(php));
  Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);
  php->size--;
  AdjustDown(php->a,php->size,0);
 
}
HPDateType HeapTop(HP* php)
{
  assert(php);
  assert(!HeapEmpty(php));
  return php->a[0];
}
bool HeapEmpty(HP* php)
{
  assert(php);
  return php->size == 0;
}
int HeapSize(HP* php)
{
  assert(php);
  assert(!HeapEmpty(php));
  return php->size;
}

六、总结


二叉树堆是一种特殊的二叉树,它具有以下性质:


1. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值:如果父节点的值大于子节点的值,那么这是一个大顶堆;如果父节点的值小于子节点的值,那么这是一个小顶堆。


2. 堆总是一棵完全二叉树:即除了最后一层可能有部分节点空缺外,其他层的节点都是满的。


二叉树堆可以使用数组来存储,通过维护节点的父子关系和堆的性质,可以实现堆的基本操作,如插入、删除和排序等。常见的堆操作包括:


1. 建堆:将一个数组构建成堆。


2. 堆调整:在插入或删除节点后,对堆进行调整,以保持堆的性质。


3. 堆排序:利用堆的性质进行排序。


二叉树堆在很多领域都有广泛的应用,例如:


1. 优先队列:可以用于实现优先队列,按照优先级对元素进行排序和访问。


2. 数据筛选:从大量数据中快速筛选出前个最大或最小的元素。


3. 图的遍历:在某些图算法中,可以使用堆来优化遍历过程。


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