数据结构——二叉树

1. 树的概念

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

因此，树是递归定义的

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

2. 二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
   

2.3 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
   说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 ＝ ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= . (ps： 是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   1.若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   2.若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
   3.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

    顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

    2.链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。

typedef int BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
  BTDataType data;
  struct BinaryTreeNode* left;
  struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

3. 二叉树链式结构的实现

3.1 二叉树的简单构建

BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{
  BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
  if (node == NULL)
  {
    perror("malloc fail");
    return NULL;
  }

  node->data = x;
  node->left = NULL;
  node->right = NULL;

  return node;
}

BTNode* CreateBinaryTree()
{
  BTNode* node1 = BuyNode(1);
  BTNode* node2 = BuyNode(2);
  BTNode* node3 = BuyNode(3);
  BTNode* node4 = BuyNode(4);
  BTNode* node5 = BuyNode(5);
  BTNode* node6 = BuyNode(6);
  BTNode* node7 = BuyNode(7);

  node1->left = node4;
  node1->right = node2;
  node4->left = node5;
  node2->left = node3;
  node2->right = node6;
  node4->right = node7;

  return node1;
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。

3.2 二叉树的遍历

二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

1.前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

2.中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

3.后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

3.2.1 前序遍历

void PrevOrder(BTNode* root)
{
  if (root == NULL)
  {
    printf("N ");
    return;
  }

  printf("%d ", root->data);
  PrevOrder(root->left);
  PrevOrder(root->right);
}

3.2.2 中序遍历

void InOrder(BTNode* root)
{
  if (root == NULL)
  {
    printf("N ");
    return;
  }
  
  PrevOrder(root->left);
  printf("%d ", root->data);
  PrevOrder(root->right);
}

3.2.3 后序遍历

void PostOrder(BTNode* root)
{
  if (root == NULL)
  {
    printf("N ");
    return;
  }

  PrevOrder(root->left);
  PrevOrder(root->right);
  printf("%d ", root->data);
}

3.2.4 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

层序遍历时我们可以利用队列存储二叉树结点地址，先让父结点进队列，然后在父结点出队列的同时带动左右孩子进队列，在上一层访问完全时，下一层全部进队列，队列为空时停止。

因为队列存储数据发生变化所以在开始之前我们要做一下小改动

void LevelOrder(BTNode* root)
{
  Queue q;
  QueueInit(&q);
  if (root != NULL)
  {
    QueuePush(&q, root);
  }
  while (!QueueEmpty(&q))
  {
    BTNode* Front = QueueFront(&q);
    QueuePop(&q);
    printf("%d ", Front->data);
    if (Front->left)
    {
      QueuePush(&q, Front->left);
    }
    if (Front->right)
    {
      QueuePush(&q, Front->right);
    }
  }
  QueueDestroy(&q);

}

3.3 二叉树的结点个数以及高度

3.3.1 二叉树的结点个数

int BTreeSize(BTNode* root)
{
  return root == NULL ? 0 : BTreeSize(root->left) + BTreeSize(root->right) + 1;
}

3.3.2 二叉树的叶子结点个数

int BTreeLeafSize(BTNode* root)
{
  if (root == NULL)
  {
    return 0;
  }
  
  if (root->left == NULL && root->right == NULL)
  {
    return 1;
  }
  return BTreeLeafSize(root->left) + BTreeLeafSize(root->right);
}

3.3.3 二叉树第k层结点个数

注意：求第k层可以转化为求以第k层为根结点的第一层。

int BTreeLevelkSize(BTNode* root, int k)
{
  assert(k > 0);

  if (root == NULL)
  {
    return 0;
  }

  if (k == 1)
  {
    return 1;
  }

  return BTreeLevelkSize(root->left, k - 1)
    + BTreeLevelkSize(root->right, k - 1);
}

3.3.4 二叉树查找值为x的节点

注意：在进行递归遍历时，一定要及时保存，避免找不到

BTNode* BTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
  if (root == NULL)
  {
    return NULL;
  }
  if (root->data == x)
  {
    return root;
  }
  BTNode* left = BTreeFind(root->left, x);
  if (left)
  {
    return left;
  }
  BTNode* right = BTreeFind(root->right, x);
  if (right)
  {
    return right;
  }

  return NULL;
}

3.3.5 判断二叉树是否是完全二叉树

完全二叉树：当遇到第一个NULL时，后面所有皆为NULL

bool BTreeComplete(BTNode* root)
{
  Queue q;
  QueueInit(&q);
  if (root != NULL)
  {
    QueuePush(&q, root);
  }
  while (!QueueEmpty(&q))
  {
    BTNode* Front = QueueFront(&q);
    QueuePop(&q);
    //遇到NULL直接跳出
    if (Front == NULL)
    {
      break;
    }
    QueuePush(&q, Front->left);
    QueuePush(&q, Front->right);  
  }

  //检查后面有没有非空
  while (!QueueEmpty(&q))
  {
    BTNode* Front = QueueFront(&q);
    QueuePop(&q);
    if (Front)
    {
      QueueDestroy(&q);
      return false;
    }
  }
  QueueDestroy(&q);
}

3.4 二叉树的创建和销毁

3.4.1 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树

TreeNode* createTree(TreeNode *root,char *str,int *ps)
{
    char cur=str[*ps];
    (*ps)++;
    if(cur =='#')
    {
        return NULL;
    }
    else {
        root=(TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
        root->left=root->right=NULL;
        root->val=cur;
        root->left = createTree(root->left,str,ps);
        root->right = createTree(root->right,str,ps);
    }
    return root;
}

3.4.2 二叉树销毁

void BTreeDestory(BTNode* root)
{
  if (root == NULL)
  {
    return;
  }
  BTreeDestory(root->left);
  BTreeDestory(root->right);
  free(root);
}

4. 感谢大家支持