数据结构第五课 -----线性表之树

树概念及结构

含义：树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。（简单的说就是一棵树可以分成很多子树）
• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 树是递归定义的
• 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
• 树可以拆分成根、分支节点和叶节点

树的相关

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

简单的说就是一颗树可以拆成多个子树，子树之间不能相交，每个节点有且仅有一个父节点，有N个节点就会有N-1条边，每个节点有多少个度，就会有多少个子树

树的结构体类型

指针数组法

struct TreeNode
{
  int val;
  struct TreeNode* chailArr[N]; //指针数组，每个节点的度最大是6
 //这样会造成很多空间浪费
};

左孩子右兄弟

//左孩子右兄弟
struct TreeNode
{
  int val;
  struct TreeNode* leftchild;
  struct TreeNode* rigthbrother;
};

二叉树

二叉树是一种特殊的树结构，其中每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。二叉树可以为空，也可以只有一个根节点

二叉树具有一些特殊的性质，例如：

1. 每个节点最多有两个子节点，分别为左子节点和右子节点。
2. 左子树和右子树也是二叉树，它们的结构与父节点类似。
3. 二叉树可以是空的，即没有任何节点。
4. 二叉树可以是斜的，即所有节点都只有左子节点或只有右子节点。

可以简单的理解,二叉树的度不超过2

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的

特殊的二叉树

满二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k -1，则它就是满二叉树。

完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K

的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

简单的理解就是 完全二叉树有k层,前k-1层是全满的,第k层的节点数的范围是[1, 2^(k-1)], 并且从左到右必须连续

二叉树的存储结构

1. 顺序存储(适合于满二叉树(或者完全二叉树))
   可以看出左子节点都是奇数, 右子节点都是偶然
   这样存储有一个规律
   父节点下标为parent
   左子节点: leftchild = parent2 +1
   右子节点:rigthchild = parent2 +2

还要一条万能公式

parent = (child -1) /2; child就是左(右)子节点下标

下面树顺序结构存储

2.链式存储

链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是：

链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链

堆的概念及结构

堆可以使用数组来实现，因为它是一种完全二叉树。在数组中，父节点和子节点的关系可以通过下标计算得出。

简单理解就是，堆一般是一种完全二叉树，以数组的形式进行存储，

堆有大小堆之分

搜索二叉树

搜索二叉树（Binary Search Tree，BST）是一种特殊的二叉树结构，具有以下性质：

• 对于任意节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值。
• 对于任意节点，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
• 左右子树也都是搜索二叉树。

这里简单的介绍，后面再细讲， 下面我们回归堆

小堆：

小堆要求：任意一个父亲 <= 孩子

大堆

大堆要求: 任意一个父亲 >= 孩子