曼哈顿距离与欧式距离在聚类算法中的区别
引言
在聚类算法中，距离度量是一个关键的概念，用于衡量数据点之间的相似性或距离。曼哈顿距离和欧式距离是两种常用的距离度量方法，在聚类算法中经常被使用。本文将对曼哈顿距离和欧式距离进行详细比较和分析，探讨它们的数学原理、几何意义、应用场景以及在聚类算法中的影响。
数学原理与计算方式
曼哈顿距离：
曼哈顿距离，也称为城市街区距离或L1范数，是指两点之间的距离是沿着坐标轴的方向移动，每次只能沿着一个方向移动一个单位距离，即各坐标的绝对距离总和。其数学表达式为：
[ D(x, y) = \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i| ]
其中 ( x ) 和 ( y ) 分别表示两个数据点的坐标，( n ) 表示数据的维度。
欧式距离：
欧式距离，也称为直线距离或L2范数，是指两点之间的距离是直线的长度，即两点在空间中的直线距离。其数学表达式为：
[ D(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2} ]
几何意义与可视化效果
曼哈顿距离：
曼哈顿距离可以被看作是沿着坐标轴的“城市街区”路径的长度，因此它在多维空间中表现为各个坐标之间的距离总和。在二维空间中，曼哈顿距离等于两点之间的水平和垂直距离之和，因此它通常呈现出沿着网格线的路径。这种路径的特性使得曼哈顿距离在处理具有网格结构或离散特征的数据时更为适用。
欧式距离：
欧式距离则代表了两点之间的最短直线距离，它在几何上对应于直线路径。在二维空间中，欧式距离等于两点之间的直线长度，因此它通常呈现出直线的路径。欧式距离在处理连续特征或具有连续性分布的数据时更为适用，因为它能够充分利用数据的连续性结构。
应用场景与选择考量
曼哈顿距离：
曼哈顿距离适用于处理具有离散特征或网格结构的数据，例如图像处理、城市规划、路径规划等领域。它对异常值的影响较小，因为它是沿着坐标轴的距离总和，不受距离的绝对值影响。
欧式距离：
欧式距离适用于处理连续特征或具有连续性分布的数据，例如传感器数据、生物医学数据、金融数据等领域。它对数据的特征尺度敏感，因此需要进行特征缩放或标准化以保证各个特征的权重相等。
在聚类算法中的影响
曼哈顿距离：
在K-means聚类算法中，使用曼哈顿距离可以得到更符合离散数据结构的聚类结果。曼哈顿距离对异常值的影响较小，因此在处理含有噪声或离群点的数据时更为稳健。
欧式距离：
在K-means聚类算法中，使用欧式距离可以得到更符合连续数据结构的聚类结果。欧式距离对数据的特征尺度敏感，因此需要对数据进行特征缩放以保证聚类结果的准确性。
结论
综上所述，曼哈顿距离和欧式距离在聚类算法中都有其独特的应用场景和适用性。工程师在选择距离度量方法时，需要根据数据的特征、结构和聚类需
求进行综合考量，以获得最佳的聚类结果。对于离散特征或具有网格结构的数据，可以考虑使用曼哈顿距离；而对于连续特征或具有连续性分布的数据，则更适合使用欧式距离。
