本文涉及的知识点
图论 分类讨论
本题同解
【差分数组】【图论】【分类讨论】【整除以2】3017按距离统计房屋对数目
LeetCode3017按距离统计房屋对数目
给你三个 正整数 n 、x 和 y 。
在城市中，存在编号从 1 到 n 的房屋，由 n 条街道相连。对所有 1 <= i < n ，都存在一条街道连接编号为 i 的房屋与编号为 i + 1 的房屋。另存在一条街道连接编号为 x 的房屋与编号为 y 的房屋。
对于每个 k（1 <= k <= n），你需要找出所有满足要求的 房屋对 [house1, house2] ，即从 house1 到 house2 需要经过的 最少 街道数为 k 。
返回一个下标从 1 开始且长度为 n 的数组 result ，其中 result[k] 表示所有满足要求的房屋对的数量，即从一个房屋到另一个房屋需要经过的 最少 街道数为 k 。
注意，x 与 y 可以 相等 。
示例 1：
输入：n = 3, x = 1, y = 3
输出：[6,0,0]
解释：让我们检视每个房屋对
- 对于房屋对 (1, 2)，可以直接从房屋 1 到房屋 2。
- 对于房屋对 (2, 1)，可以直接从房屋 2 到房屋 1。
- 对于房屋对 (1, 3)，可以直接从房屋 1 到房屋 3。
- 对于房屋对 (3, 1)，可以直接从房屋 3 到房屋 1。
- 对于房屋对 (2, 3)，可以直接从房屋 2 到房屋 3。
- 对于房屋对 (3, 2)，可以直接从房屋 3 到房屋 2。
示例 2：
输入：n = 5, x = 2, y = 4
输出：[10,8,2,0,0]
解释：对于每个距离 k ，满足要求的房屋对如下： - 对于 k == 1，满足要求的房屋对有 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), 以及 (5, 4)。
- 对于 k == 2，满足要求的房屋对有 (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), 以及 (5, 3)。
- 对于 k == 3，满足要求的房屋对有 (1, 5)，以及 (5, 1) 。
- 对于 k == 4 和 k == 5，不存在满足要求的房屋对。
示例 3：
输入：n = 4, x = 1, y = 1
输出：[6,4,2,0]
解释：对于每个距离 k ，满足要求的房屋对如下： - 对于 k == 1，满足要求的房屋对有 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), 以及 (4, 3)。
- 对于 k == 2，满足要求的房屋对有 (1, 3), (3, 1), (2, 4), 以及 (4, 2)。
- 对于 k == 3，满足要求的房屋对有 (1, 4), 以及 (4, 1)。
- 对于 k == 4，不存在满足要求的房屋对。
分类讨论
假定x != y
不失一般性，令x < y。
则x ↔ \leftrightarrow↔ y ,是环。房屋z1和z2,令z1 < z2 分类如下：
分类一，z1 < x ,z2 < x 。则两者经过的街道数为z2-z1。
分类二，z1，z2∈ \in∈[x,y] 。min(z2-z1,y-z2+z1-x+1)。
分类三：z1,z2 > y。和分类一类似。
分类四：z1 < x ，z2∈ \in∈[x,y]。 min(z2-z1,y-z2+1+(x-z1))
分类五：z1 < x ,z2 > y 。则两者经过的街道数为(z1-x)+1+(z2-y)。通过x,y中中转多花 x+1-y ，由于y > x，故多化的<=0，更优。
分类六：z1 ∈ \in∈[x,y]，z2 > y。 min(z2-z1,z1-x+1+(z2-y))
总结后的分类
新分类一：[z3,z4] 都不通过x↔ \leftrightarrow↔y 中转。包括分类一，分类五，及x==y。
距离为1的数量为:z4-z3。
距离为2的数量为：z4-z3-1
⋮ \vdots⋮
新分类二：两个点都在环上，环的长度为len。则两点的合法距离只能∈ \in∈[1,len/2] 原分类二。
如果len是偶数，距离len/2的点对数量为len/2，z5→ \rightarrow→z6 就是 z6→ \rightarrow→z5。
其它情况点对数量为：len。
新分类三：两个点分别在环两侧。分类五。
长度为3的点对：1。
长度为4的点对：2。
长度为5的点对：3 。
令环左侧的点数为len1，环右侧的点数为len2。计算距离为d的数量：
minl = max(0,d-3-(len2-1))
maxl = min(len1-1,d-3)
距离为d的点对数量：maxl - minl +1 。
新分类四：环上一点，一侧一点。原分类四六。
把环拆成两个，就和新分类三基本一致。
拆分成{2,1,4}和{5,6}，同时拆分成{3,4} {5,6}
交点4 被计算了两次，要扣掉。
代码
核心代码
class Solution { public: vector<long long> countOfPairs(int n, int x, int y) { m_vRet.resize(n); if (x == y) { Do1(1, n); return m_vRet; } if (x > y) { swap(x, y); } Do1(1, x - 1); const int iCycLen = y - x + 1; Do2(iCycLen); Do1(y + 1, n); Do4(iCycLen, x - 1); Do3(x - 1, 3, n - y); Do4(iCycLen, n - y); return m_vRet; } void Do1(int left, int r) { for (int d = 1; d <= r - left; d++) { update(d, r - left + 1 - d); } } void Do2(int iCycLen) { for (int d = 1; d <= iCycLen / 2; d++) { const int cnt = ((0 == iCycLen % 2) && (iCycLen / 2 == d)) ? iCycLen / 2 : iCycLen; update(d, cnt); } } void Do3(int len1, int iMidDis, int len2) { for (int d = 0; d <= len1 + len2 - 2; d++) { const int minl = max(0, d - (len2 - 1)); const int maxl = min(len1 - 1, d); update(d + iMidDis, maxl - minl + 1); } } void Do4(int iCycLen, int len) { Do3((iCycLen+1) / 2 , 1, len); Do3(iCycLen / 2 + 1, 1, len); for (int d = 1; d <= len; d++) { update(d, -1); } } inline void update(int d, int cnt) { m_vRet[d - 1] += cnt*2; } vector<long long> m_vRet; };
测试用例
template<class T> void Assert(const T& t1, const T& t2) { assert(t1 == t2); } template<class T> void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2) { if (v1.size() != v2.size()) { assert(false); return; } for (int i = 0; i < v1.size(); i++) { Assert(v1[i], v2[i]); } } int main() { int n, x, y; { Solution sln; n = 6, x = 1, y = 5; auto res = sln.countOfPairs(n, x, y); Assert(res, vector<long long>{ 12, 14, 4, 0, 0, 0 }); } { Solution sln; n = 3, x = 2, y = 2; auto res = sln.countOfPairs(n, x, y); Assert(res, vector<long long>{4, 2, 0}); } { Solution sln; n = 4, x = 1, y = 1; auto res = sln.countOfPairs(n, x, y); Assert(res, vector<long long>{6, 4, 2, 0}); } { Solution sln; n = 5, x = 2, y = 4; auto res = sln.countOfPairs(n, x, y); Assert(res, vector<long long>{10, 8, 2, 0, 0}); } { Solution sln; n = 3, x = 1, y = 3; auto res = sln.countOfPairs(n, x, y); Assert(res, vector<long long>{6, 0, 0}); } { Solution sln; n = 2, x = 2, y = 2; auto res = sln.countOfPairs(n, x, y); Assert(res, vector<long long>{2, 0}); } }
扩展阅读
视频课程
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176
相关下载
想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653
| 我想对大家说的话 |
| 闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。 |
| 子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。 |
| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
