本文涉及知识点
图论 割点 双连通分类
LeetCode LCP 54. 夺回据点
魔物了占领若干据点，这些据点被若干条道路相连接，roads[i] = [x, y] 表示编号 x、y 的两个据点通过一条道路连接。
现在勇者要将按照以下原则将这些据点逐一夺回：
在开始的时候，勇者可以花费资源先夺回一些据点，初始夺回第 j 个据点所需消耗的资源数量为 cost[j]
接下来，勇者在不消耗资源情况下，每次可以夺回一个和「已夺回据点」相连接的魔物据点，并对其进行夺回
注：为了防止魔物暴动，勇者在每一次夺回据点后（包括花费资源夺回据点后），需要保证剩余的所有魔物据点之间是相连通的（不经过「已夺回据点」）。
请返回勇者夺回所有据点需要消耗的最少资源数量。
注意：
输入保证初始所有据点都是连通的，且不存在重边和自环
示例 1：
输入： cost = [1,2,3,4,5,6] roads = [[0,1],[0,2],[1,3],[2,3],[1,2],[2,4],[2,5]]
输出：6
解释： 勇者消耗资源 6 夺回据点 0 和 4，魔物据点 1、2、3、5 相连通； 第一次夺回据点 1，魔物据点 2、3、5 相连通； 第二次夺回据点 3，魔物据点 2、5 相连通； 第三次夺回据点 2，剩余魔物据点 5； 第四次夺回据点 5，无剩余魔物据点； 因此最少需要消耗资源为 6，可占领所有据点。i
示例 2：
输入： cost = [3,2,1,4] roads = [[0,2],[2,3],[3,1]]
输出：2
解释： 勇者消耗资源 2 夺回据点 1，魔物据点 0、2、3 相连通； 第一次夺回据点 3，魔物据点 2、0 相连通； 第二次夺回据点 2，剩余魔物据点 0； 第三次夺回据点 0，无剩余魔物据点； 因此最少需要消耗资源为 2，可占领所有据点。image.png
提示：
1 <= roads.length, cost.length <= 105
0 <= roads[i][0], roads[i][1] < cost.length
1 <= cost[i] <= 109
预备知识
点双连通：删掉任意一个点之后及关联的边后，图仍联通。
点双连通分量的缩点
性质一： 无向图中，要么是树边，父亲指向孩子；要么是回边，后代指向祖宗。见：割点原理及封装好的割点类。
性质二：一个环一定是点双连通。
性质三：一个环+一个树，一定不是点双连通区域。令树的一边a,b不在环上,b不在环上。则删除a,b就成了新的连通区域。
性质四：两个环有一个点重合，一定不是点双连通。删除重合点就分开了。
性质五：两个环有两个或更多的顶点相同，则一定是双连通区域。令相同的顶点是a和b。删除a后，两个环余下的点，通过b连通。删除b，类似。
性质六：设G1,G2最大点双连通图，如果G1和G2包括相同的边ab，则G1 == G2。删除a后，G1和G2所有的点都可以通过b连通，故G1和G2可以合并。
性质七：无向图的任何树边都只属于一个强连通分量。
简化情况
假定是树，且节点数大于等于3。一定会存在度数>=2的节点，以任意度数为2的根，形成树。
令叶子数是k，选择k-2个叶子结束，无法完全占据。2个叶子节点最近公共祖先无法消除。
选择k-1个叶子，一定可以占据。设没选择的节点是a，k-1个消除到和a的公共祖先，余下的树都是a的祖先，从根开始消除。
不能选择根节点，除一个子树外，可以选择排除一个叶子节 点外的叶子节点；其它子树要全部选择。显然劣于k-1叶子节点。
不能选择枝节点，选了只有两个选择：
a，本子树全选，本子树外的叶子排除一个外全选。
b,本子树外的节点全选。本子树的叶子排除一个外全选。
显然劣于选择k-1个叶子节点。
红色字体是割点，红色线段是回边。
共四个点双连通区域，红色背景（节点0)、绿色背景(3）、紫色背景(6) 只和一个割点连接，消除不会形成新的连通区域。蓝色节点(4)和两个割点连通，首先删除会，让2和5断开。
点双连通区域占据任意点，任意剩余据点也是连通。
关于点双连通区域
性质一：除根节点外的任何节点x都会放到符合以下条件的next所在连通区域。
next就是x或next是x的祖宗。如果多个next，取级别最高的。
断开cur后，next和cur的祖宗不连通。每个节点只会入栈出栈一次。
性质二：next的父节点也会放到next所在的双连通区域。
性质三：除根节点外的任何节点x 都有符合性质一的next，根节点的子节点一定符合。
代码
两种特殊情况： 一个连通区域只有一个点。本类会解析错误，解析成没有点双连同区域。
没有割点，会解析成一个点双连通区域，解析正确。本题要特殊处理。
class CNeiBo { public: static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0) { vector<vector<int>> vNeiBo(n); for (const auto& v : edges) { vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase); if (!bDirect) { vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase); } } return vNeiBo; } static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0) { vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n); for (const auto& v : edges) { vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]); if (!bDirect) { vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]); } } return vNeiBo; } static vector<vector<int>> Grid(int rCount, int cCount, std::function<bool(int, int)> funVilidCur, std::function<bool(int, int)> funVilidNext) { vector<vector<int>> vNeiBo(rCount * cCount); auto Move = [&](int preR, int preC, int r, int c) { if ((r < 0) || (r >= rCount)) { return; } if ((c < 0) || (c >= cCount)) { return; } if (funVilidCur(preR, preC) && funVilidNext(r, c)) { vNeiBo[cCount * preR + preC].emplace_back(r * cCount + c); } }; for (int r = 0; r < rCount; r++) { for (int c = 0; c < cCount; c++) { Move(r, c, r + 1, c); Move(r, c, r - 1, c); Move(r, c, r, c + 1); Move(r, c, r, c - 1); } } return vNeiBo; } }; //割点 class CCutPoint { public: CCutPoint(const vector<vector<int>>& vNeiB) : m_iSize(vNeiB.size()) { m_vNodeToTime.assign(m_iSize, -1); m_vCutNewRegion.resize(m_iSize); } void Init(const vector<vector<int>>& vNeiB) { for (int i = 0; i < m_iSize; i++) { if (-1 == m_vNodeToTime[i]) { m_vRegionFirstTime.emplace_back(m_iTime); dfs(vNeiB, i, -1); } } } const int m_iSize; const vector<int>& Time()const { return m_vNodeToTime; }//各节点的时间戳 const vector<int>& RegionFirstTime()const { return m_vRegionFirstTime; }//各连通区域的最小时间戳 vector<bool> Cut()const { vector<bool> ret; for (int i = 0; i < m_iSize; i++) { ret.emplace_back(m_vCutNewRegion[i].size()); } return ret; }// const vector < vector<pair<int, int>>>& NewRegion()const { return m_vCutNewRegion; }; protected: int dfs(const vector<vector<int>>& vNeiB, const int cur, const int parent) { int iMinTime = m_vNodeToTime[cur] = m_iTime++; OnBeginDFS(cur); int iRegionCount = (-1 != parent);//根连通区域数量 for (const auto& next : vNeiB[cur]) { if (-1 != m_vNodeToTime[next]) { iMinTime = min(iMinTime, m_vNodeToTime[next]); continue; } const int childMinTime = dfs(vNeiB, next, cur); iMinTime = min(iMinTime, childMinTime); if (childMinTime >= m_vNodeToTime[cur]) { iRegionCount++; m_vCutNewRegion[cur].emplace_back(m_vNodeToTime[next], m_iTime); OnNewRegion(cur, next); } } if (iRegionCount < 2) { m_vCutNewRegion[cur].clear(); } return iMinTime; } virtual void OnNewRegion(int cur, int next) {}; virtual void OnBeginDFS(int cur) {}; vector<int> m_vNodeToTime; vector<int> m_vRegionFirstTime; vector < vector<pair<int, int>>> m_vCutNewRegion; //m_vCutNewRegion[c]如果存在[left,r) 表示割掉c后，时间戳[left,r)的节点会形成新区域 int m_iTime = 0; }; class CConnectAfterCutPoint { public: CConnectAfterCutPoint(const vector<vector<int>>& vNeiB) :m_ct(vNeiB) { m_vTimeToNode.resize(m_ct.m_iSize); m_vNodeToRegion.resize(m_ct.m_iSize); for (int iNode = 0; iNode < m_ct.m_iSize; iNode++) { m_vTimeToNode[m_ct.Time()[iNode]] = iNode; } for (int iTime = 0,iRegion= 0; iTime < m_ct.m_iSize; iTime++) { if ((iRegion < m_ct.RegionFirstTime().size()) && (m_ct.RegionFirstTime()[iRegion] == iTime)) { iRegion++; } m_vNodeToRegion[m_vTimeToNode[iTime]] = (iRegion - 1); } } bool Connect(int src, int dest, int iCut)const { if (m_vNodeToRegion[src] != m_vNodeToRegion[dest]) { return false;//不在一个连通区域 } if (0 == m_ct.NewRegion()[iCut].size()) {//不是割点 return true; } const int r1 = GetCutRegion(iCut, src); const int r2 = GetCutRegion(iCut, dest); return r1 == r2; } vector<vector<int>> GetSubRegionOfCut(const int iCut)const {//删除iCut及和它相连的边后，iCut所在的区域会分成几个区域：父节点一个区域、各子节点 一个区域 //父节点所在区域可能为空，如果iCut所在的连通区域只有一个节点，则返回一个没有节点的 区域。 const auto& v = m_ct.NewRegion()[iCut]; vector<int> vParen; const int iRegion = m_vNodeToRegion[iCut]; const int iEndTime = (iRegion + 1 == m_ct.RegionFirstTime().size()) ? m_ct.m_iSize : m_ct.RegionFirstTime()[iRegion+1]; vector<vector<int>> vRet; for (int iTime = m_ct.RegionFirstTime()[iRegion],j=-1; iTime < iEndTime; iTime++) { if (iCut == m_vTimeToNode[iTime]) { continue; } if ((j + 1 < v.size()) && (v[j + 1].first == iTime)) { j++; vRet.emplace_back(); } const int iNode = m_vTimeToNode[iTime]; if ((-1 != j ) && (iTime >= v[j].first) && (iTime < v[j].second)) { vRet.back().emplace_back(iNode); } else { vParen.emplace_back(iNode); } } vRet.emplace_back(); vRet.back().swap(vParen); return vRet; } protected: int GetCutRegion(int iCut, int iNode)const { const auto& v = m_ct.NewRegion()[iCut]; auto it = std::upper_bound(v.begin(), v.end(), m_ct.Time()[iNode], [](int time, const std::pair<int, int>& pr) {return time < pr.first; }); if (v.begin() == it) { return v.size(); } --it; return (it->second > m_ct.Time()[iNode]) ? (it - v.begin()) : v.size(); } vector<int> m_vTimeToNode; vector<int> m_vNodeToRegion;//各节点所在区域 const CCutPoint m_ct; }; class CPointBitConnect :public CCutPoint {//点双连通区域 public: CPointBitConnect(const vector<vector<int>>& vNeiB):CCutPoint(vNeiB) { } stack<int> m_staNodes; vector<vector<int>> m_vBitConnect; protected: virtual void OnNewRegion(int cur, int next) override { m_vBitConnect.emplace_back(); while (true) { const int t = m_staNodes.top(); m_staNodes.pop(); m_vBitConnect.back().emplace_back(t); if (t == next) { break; } } m_vBitConnect.back().emplace_back(cur); }; virtual void OnBeginDFS(int cur)override { m_staNodes.emplace(cur); }; }; class Solution { public: long long minimumCost(vector<int>& cost, vector<vector<int>>& roads) { m_c = cost.size(); if (1 == m_c) { return cost[0]; } auto neiBo = CNeiBo::Two(m_c, roads, false); CPointBitConnect pbc(neiBo); pbc.Init(neiBo); if (1 == pbc.m_vBitConnect.size()) { return *std::min_element(cost.begin(), cost.end()); } long long ans = 0; int iMax = 0; vector<bool> vCut = pbc.Cut(); for (auto& v : pbc.m_vBitConnect) { int iCutCount = 0; int iCurMin = INT_MAX; for (const auto& iNode : v) { iCutCount += vCut[iNode]; if (!vCut[iNode]) { iCurMin = min(iCurMin, cost[iNode]); } } if (1 == iCutCount) { iMax = max(iMax, iCurMin); ans += iCurMin; } } return ans - iMax; } int m_c; };
测试用例
template<class T, class T2> void Assert(const T& t1, const T2& t2) { assert(t1 == t2); } template<class T> void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2) { if (v1.size() != v2.size()) { assert(false); return; } for (int i = 0; i < v1.size(); i++) { Assert(v1[i], v2[i]); } } int main() { vector<int> cost; vector<vector<int>> roads; { Solution sln; cost = { 3,2,1,4 }, roads = { {0,2},{2,3},{3,1} }; auto res = sln.minimumCost(cost, roads); Assert(2, res); } { Solution sln; cost = { 1,2,3,4,5,6 }, roads = { {0,1},{0,2},{1,3},{2,3},{1,2},{2,4},{2,5} }; auto res = sln.minimumCost(cost, roads); Assert(6, res); } }
扩展阅读
视频课程
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快
速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176
相关下载
想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653
| 我想对大家说的话 |
| 闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。 |
| 子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。 |
| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
