拓扑排序：求取拓扑序列

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拓扑排序简单讲就是在可求拓扑序列的有向无回路图（有向无环图）中求取拓扑序列的排序算法。

相关概念

拓扑序列

通俗讲就是按活动的先后次序进行排序的序列，并且每一个顶点只出现一次，它可以表述出完成某一项活动所需要的前置活动都有哪一些！当然，一个图的拓扑排序不唯一。

例子：

• 修学课程都有其先修课程，利用拓扑序列就能快速的获得所有的先修课程

• 游戏任务都有前置任务，利用拓扑序列，就能清楚所有的任务链条

• 依赖包的加载顺序也是利用拓扑序列来处理的

求取拓扑序列的图：有向无环图

• 有向：对于一个顶点到另一个顶点的方向是确定的，也就是连接线出现箭头的图
• 无环：也可称为无回路，从一个顶点出发，经历所有的路径，也不能回到该顶点

所有顶点都满足以上两种情况的图就叫做有向无环图，基本可以认为只有有向无环图才能求取拓扑序列

入度与出度

在有向图中，一个顶点的入度为其所有指向该顶点的箭头个数，出度为其所指向其他顶点的箭头个数。

算法思路

基本思想

1. 找到无入度的顶点，输出该顶点，并将其指向的顶点入度数减一
2. 重复第一步，直至所有顶点被输出，拓扑序列完成，如果输出的顶点数小于图中顶点的个数，无拓扑序列

代码实现思路

1. 定义一个队列、输出数组以及 HashMap

   • 队列存储拓扑序列，并最后输出
   • 输出数组存放最后队列输出的拓扑序列
   • HashMap 存储结点及其入度值

2. 遍历所有结点，将所有结点（除入度为零的结点）的入度及其值存放到 HashMap 中，将入度为 0 的结点放置到队列之中

   遍历结点可用深度优先遍历，也可广度优先遍历

3. 当队列不为空时

   1. 输出队列一个结点到输出数组中，设为 a
   2. 将结点 a 所有指向的顶点入度减一
   3. 若出现入度为 0 的结点，则存入队列之中

4. 队列为空，输出的顶点个数小于图顶点数，无拓扑序列，输出 null，否则，拓扑序列输出结束，并返回输出数组

邻接矩阵的拓扑序列

public static char[] foundTopology(GraphM g){
   
   
    Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
    HashMap<String,Integer> hashMap= new HashMap<>();
    char[] res = new char[g.VertexNum];
    //计算每个结点入度值
    for (int i = 0;i < g.VertexNum;i++){
   
   
        String key = String.valueOf(g.Vertex[i]);
        int value = 0;
        for (int j = 0;j < g.VertexNum;j++){
   
   
            if (g.EdgeWeight[j][i]!=0){
   
   
               value++;
            }
        }
        if (value==0){
   
   
            queue.add(i);
        }
        hashMap.put(key,value);
    }
    int j = 0;
    while(!queue.isEmpty()){
   
   
        int getKey = queue.remove();
        res[j++] = g.Vertex[getKey];
        for (int k = 0;k < g.VertexNum;k++){
   
   
            String getPointKey = String.valueOf(g.Vertex[k]);
            int getPointValue = hashMap.get(getPointKey);
            if (g.EdgeWeight[getKey][k] != 0 && getPointValue != 0){
   
   
                hashMap.put(getPointKey,getPointValue-1);
                if (getPointValue-1==0){
   
   
                    queue.add(k);
                }
            }
        }

    }
    if (j == g.VertexNum){
   
   
        return res;
    }
    return null;
}

邻接表的拓扑序列

由于拓扑序列的求取只需对两点之间的关联关系做出判断，采取邻接矩阵存储结构的图会是更好的选择。如果需要采取邻接表的存储结构来实现的话，更为推荐反向邻接表的形式来进行求取，即以终点指向起点的方式，求取对应的入度值会更为方便，在这里就不对其在多加讨论，可以自行扩展。

当然，实现本代码的前提是能够定义一个有向图，并且遍历图，也为方便以上拓扑排序代码的阅读，故此补充相关的知识。

定义图及其遍历

图的定义一般如下两种方法：

• 邻接矩阵法
• 邻接表法

邻接：两个顶点间存在边或弧

图的遍历可以分为如下两种方法：

• 深度优先遍历 DFS
• 广度优先遍历 BFS

同一遍历方法的遍历顺序可能唯一，原因如下：

• 存储结构不同：邻接表、邻接矩阵
• 出发结点不同
• 连通与否

邻接矩阵法

定义一个二维数组，其中行代表起点，列代表终点，如果两者之间存在连接关系，值为 1 ，否则为 0 。它关于主对角线对称。

算法步骤：

1. 确定图的类型（有向图、无向图）、顶点个数、边个数、权值
2. 输入所有顶点，存进顶点数组中
3. 将边数组定义为 EdgeWeight[顶点数] [顶点数]，
4. 输入所有边的起点、终点以及权值，在顶点数组中找到对应起点、终点的下标
5. 输入对应权值，赋值给 EdgeWeight[起点下标] [终点下标]，若为无向图，对应权值再赋值给 EdgeWeight[终点下标] [起点下标]，保证双向
6. 输出邻接矩阵

邻接矩阵代码

//图邻接矩阵结构
class GraphM {
   
   
    static final int MaxNum = 20;         //图的最大顶点数
    static final int MaxValue = 65535;    //最大值
    int GType;     //图的类型（0:无向图  1：有向图）
    int VertexNum;//顶点数量
    int EdgeNum;   //边的数量
    char[] Vertex = new char[MaxNum]; //保存顶点信息
    int[][] EdgeWeight = new int[MaxNum][MaxNum];//保存权
    public GraphM(int GType,int VertexNum,int EdgeNum){
   
   
        this.GType = GType;
        this.EdgeNum = EdgeNum;
        this.VertexNum = VertexNum;
    }

}
public class graphMaterix {
   
   
    //创建图邻接矩阵
    public static void creatGraph(GraphM gm) {
   
   
        int i, j, k;
        int weight;         //权
        char startV, endV;   //起始，终止顶点
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        System.out.println("输入图中各顶点信息:");
        for (i = 0; i < gm.VertexNum; i++) {
   
   
            System.out.println("第" + (i + 1) + "个顶点");
            gm.Vertex[i] = (input.next().toCharArray())[0];//保存到顶点数组中
        }
        System.out.println("输入各边的顶点及权值：");
        for (k = 0; k < gm.EdgeNum; k++) {
   
   
            System.out.println("第" + (k + 1) + "条边");
            System.out.println("边的起点为：");
            startV = input.next().charAt(0);
            System.out.println("边的终点为：");
            endV = input.next().charAt(0);
            System.out.println("边的权值为：");
            weight = input.nextInt();
            for (i = 0; gm.Vertex[i] != startV; i++) ;  //在顶点数组中查找起点位置
            for (j = 0; gm.Vertex[j] != endV; j++) ;    //在顶点数组中查找终点位置
            gm.EdgeWeight[i][j] = weight;
            if (gm.GType == 0) {
   
   
                gm.EdgeWeight[j][i] = weight;
            }
        }
        input.close();
    }
    //显示图邻接矩阵
    public static void outGraph(GraphM gm){
   
   
        for(int i=0;i<gm.VertexNum;i++){
   
   
            System.out.printf(String.valueOf(gm.Vertex[i])+" "); //第一行输出顶点信息
        }
        System.out.println();
        for(int i=0;i<gm.VertexNum;i++){
   
   
            System.out.printf(String.valueOf(gm.Vertex[i])+" ");
            for(int j=0;j<gm.VertexNum;j++){
   
   
                if(gm.EdgeWeight[i][j]==gm.MaxValue){
   
   
                    System.out.printf(" ");
                }else{
   
   
                    System.out.printf(String.valueOf(gm.EdgeWeight[i][j])+" ");
                }
            }
            System.out.println();
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
   
   
        int Gtype;//图的类型（0:无向图  1：有向图）
        int VertexNum;//顶点数量
        int EdgeNum;   //边的数量
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入图类型（0:无向图  1：有向图）");
        Gtype = in.nextInt();
        System.out.println("请输入顶点数目！");
        VertexNum = in.nextInt();
        System.out.println("请输入边数目！");
        EdgeNum = in.nextInt();
        GraphM gm = new GraphM(Gtype,VertexNum,EdgeNum);
        creatGraph(gm);
        outGraph(gm);
        in.close();
    }
}

邻接表法

邻接表是以单链表的进行存储的，每个单链存储某个点可到达的所有点，当然，也可使用数组来实现，这里暂时不提及

算法步骤

1. 确定图的类型（有向图、无向图）、顶点个数、边个数、权值

2. 定义三个结点类，

   • 包含结点编号、下一结点指针以及权值的边结点类 A，
   • 包含结点编号以及下一边结点指针的表头结点类 B
   • 包含起点字符、终点字符、权值的边结点类 C

3. 输入所有顶点，并构造为一个结点类 A 类型 ，下一个边结点设置为空，存进顶点结点数组中，作为链表表头，其下标为其编号

4. 输入所有边的起点、终点以及权值，构造出一个结点类型 C 类型，并存进边数组中

5. 插入边（前插法：在表头指针与下一边结点指针之间插入）

   

   1. 在顶点数组中找到对应起点、终点的下标
   2. 构造一个边结点 A 类型，使其值为终点值，下一指针值为表头结点的原下一个结点指针，并赋值权值
   3. 使其起点对应的表头结点的下一指针值为新边结点
   4. 若为无向图，起点终点转换，再插入边，保证双向边

6. 直至遍历完所有边数组即可输出邻接表

   1. 表头结点下一结点指针为空
   2. 输入表头元素->NULL
   3. 若表头结点下一结点指针不为空
   4. 遍历其单链表，输出所有元素

邻接表代码

     import java.util.Scanner;
     //边结点类
     class edgeNode{
   
   
         int index;   //边终点对应的下标
         edgeNode next;      //下一个结点
         int edgeWeight;     //权值
         public edgeNode(int index,edgeNode next,int edgeWeight){
   
   
             this.index = index;
             this.next = next;
             this.edgeWeight = edgeWeight;
         }
     }
     //顶点结点类
     class vertexNode{
   
   
         char date;      //顶点元素
         edgeNode firstNode;     //第一个边结点
         public vertexNode(char date,edgeNode firstNode){
   
   
             this.date = date;
             this.firstNode = firstNode;
         }
     }
     //图邻接表
     class graph{
   
   
         int GType;     //图的类型（0:无向图  1：有向图）
         int verNum;     //顶点数
         int edgeNum;    //边数
         vertexNode[] vertex; //所有的顶点

         public graph(int GType, int verNum, int edgeNum) {
   
   
             this.GType = GType;
             this.verNum = verNum;
             this.edgeNum = edgeNum;
             this.vertex = new vertexNode[verNum];
         }
     }
     //边信息
     class edge{
   
   
         char began; //起点
         char end;   //终点
         int weight;    //权值

         public edge(char began, char end, int weight) {
   
   
             this.began = began;
             this.end = end;
             this.weight = weight;
         }
     }

     public class graphTable {
   
   
         //查找对应下标
         public static int getIndex(graph g,char target){
   
   
             for (int i = 0;i < g.verNum;i++){
   
   
                 if (g.vertex[i].date == target){
   
   
                     return i;
                 }
             }
             return -1;
         }

         //插入一条边
         public static int insertEdge(graph g, edge edge){
   
   
             int began = getIndex(g,edge.began);
             int end = getIndex(g,edge.end);
             if (began == -1 || end == -1){
   
   //无效边
                 return -1;
             }
             //前插法、后插法，这里使用前插法，无需遍历
             g.vertex[began].firstNode = new edgeNode(end,g.vertex[began].firstNode, edge.weight);
             if (g.vertex[began].firstNode==null){
   
   
                 return -2;
             }
             if(g.GType == 0){
   
   
                 g.vertex[end].firstNode = new edgeNode(began,g.vertex[end].firstNode,edge.weight);
             }
             ++g.edgeNum;
             return 0;
         }
         //创建图
         public static void createGraph(graph g,char[] vertex,
                                        int verNum, edge[] edges,
                                        int edgeNum,int gType){
   
   
             g.verNum = 0;
             g.edgeNum = 0;
             g.GType = gType;
             for(int i = 0;i<verNum;i++){
   
   
                 g.vertex[i] = new vertexNode(vertex[i],null);
                 ++ g.verNum;
             }
             for (int i = edgeNum-1;i >= 0;--i){
   
   
                 int value = insertEdge(g,edges[i]);
                 if (value != 0){
   
   
                     //插入一条边失败
                     System.out.println("插入边失败");
                 }
             }
         }
         //展示图
         public static void graphShow(graph g){
   
   
             System.out.println("邻接表如下：");
             for(int i = 0;i < g.verNum;i++){
   
   
                 edgeNode firstNode = g.vertex[i].firstNode;
                 if (firstNode == null){
   
   
                     System.out.println(g.vertex[i].date+"->NULL");
                     continue;
                 }
                 System.out.print(g.vertex[i].date+"->"+firstNode.index);
                 while (firstNode.next!=null){
   
   
                     System.out.print("->"+firstNode.next.index);
                     firstNode = firstNode.next;
                 }
                 System.out.println();
             }
         }

         public static void main(String[] args) {
   
   
             Scanner input = new Scanner(System.in);
             System.out.println("请输入图的类型！（0：无向图；1：有向图）");
             int gType = input.nextInt();//图的类型
             System.out.println("请输入顶底数");
             int vertNum = input.nextInt();//顶点数
             System.out.println("请输入边数");
             int edgeNum = input.nextInt();//边数
             char[] vertex = new char[vertNum];//顶点字符
             edge[] edge = new edge[edgeNum];//创建边结点数组
             graph g = new graph(gType,vertNum,edgeNum);
             //输入顶点
             for (int i = 0;i<vertNum;i++){
   
   
                 System.out.println("请输入"+i+"个结点");
                 vertex[i] = input.next().charAt(0);
             }
             for (int i = 0;i<edgeNum;i++){
   
   
                 System.out.println("请输入起点");
                 char began = input.next().charAt(0);
                 System.out.println("请输入终点");
                 char end = input.next().charAt(0);
                 System.out.println("请输入权值");
                 int weight = input.next().charAt(0);
                 edge[i] = new edge(began,end,weight);
             }
             createGraph(g,vertex,vertNum,edge,edgeNum,1);
             graphShow(g);
         }
     }

当然，图的表示不止有以上两者方法，多种多样，可根据需要进行选择。选择方法可参考如下：

• 稀疏图：当边的数量远小于顶点数的平方时
• 稠密图：当边的数量接近或大于顶点数的平方时

通常情况下，使用邻接表表示稀疏图，使用邻接矩阵表示稠密图。不过，如要验证两顶点是否相连，使用邻接矩阵会是个更好选择，因为邻接矩阵为一个二维数组，查询时间复杂度为 O(1)，效率更高。

不同结点出发的遍历顺序一定不唯一，同一结点出发的遍历顺序可能不唯一。

深度优先遍历 DFS

每次遍历都先到结点深度最深处，再回溯到上一可切换路径的结点进行又一重复遍历

步骤：

1. 从图中某个顶点 v 出发
2. 记录此节点，并从 v 未被访问的顶点出发
3. 直至与顶点 v 有路径连通的顶点都被访问
4. 若图中仍有没被访问的结点，则从其中未被访问的结点出发，重复以上过程
5. 直至所有结点都被访问

邻接矩阵深度优先遍历

//深度优先遍历算法
public static void DFSserver(GraphM g, boolean[] visited, int i) {
   
   
    for (int j = 0;j < g.VertexNum;j++){
   
   
        if (g.EdgeWeight[i][j] != 0 && !visited[j]){
   
   
            DFSserver(g,visited,j);
        }
    }
}
//深度优先遍历操作
public static char[] DFS(GraphM g){
   
   
    char[] res = new char[g.VertexNum];
    boolean[] visited = new boolean[g.VertexNum];
    int k = 0;
    for (int i = 0;i < g.VertexNum;i++){
   
   
        if (!visited[i]){
   
   
            visited[i] = true;
            res[k++] = g.Vertex[i];
            DFSserver(g,visited,i);
        }
    }
    return res;
}

邻接表深度优先遍历

//深度优先遍历算法 DFS
public static void DFSserver(GraphT g,boolean[] visited,int i) {
   
   
    edgeNode firstNode = g.vertex[i].firstNode;
    while (firstNode!=null){
   
   
        if (!visited[firstNode.index]){
   
   
            DFSserver(g,visited,firstNode.index);
        }
        firstNode = firstNode.next;
    }
}
//深度优先遍历操作
public static char[] DFS(GraphT g){
   
   
    char res[] = new char[g.verNum];
    boolean[] visited = new boolean[g.verNum];
    int j = 0;
    for(int i = 0;i < g.verNum;i++){
   
   
        if (!visited[i]){
   
   
            visited[i] = true;
            res[j++] = g.vertex[i].date;
            DFSserver(g,visited,i);
        }
    }
    return res;
}

广度优先遍历 BFS

遍历一个结点先将其所有指向结点遍历，在进入下一层进行遍历

1. 定义一个队列以及一个标记数组
2. 取图某一结点 A ，入队，并在标记数组对应值标记为 True
3. 将每一个与结点 A 相关联的结点一一判断是否已被标记为 True ，
   1. 若已标记，跳过
   2. 若存在未被标记的结点，即结点 A 出队，未被标记的结点入队
4. 依次将入队元素一一入队，重复第三步
5. 队列为空，广度优先遍历结束

邻接矩阵广度优先遍历

//广度优先遍历 BFS
public static char[] BFS(GraphM g){
   
   
    boolean[] visited = new boolean[g.VertexNum];
    Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
    char[] res = new char[g.VertexNum];
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < g.VertexNum;i++){
   
   
        if (!visited[i]){
   
   
            visited[i] = true;
            res[j++] = g.Vertex[i];
            queue.add(i);
            while (!queue.isEmpty()){
   
   
                queue.remove();
                for (int k = 0;k<g.VertexNum;k++){
   
   
                    if (g.EdgeWeight[i][k] != 0 && !visited[k]){
   
   
                        visited[k] = true;
                        res[j++] = g.Vertex[k];
                        queue.add(k);
                    }
                }
            }
        }
    }
    return res;
}

邻接表广度优先遍历

//邻接表广度优先遍历 BFS
public static char[] BFS(GraphT g){
   
   
    boolean[] visited = new boolean[g.verNum];
    Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
    char[] res = new char[g.verNum];
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < g.verNum;i++){
   
   
        if (!visited[i]){
   
   
            visited[i] = true;
            res[j++] = g.vertex[i].date;
            queue.add(i);
            while (!queue.isEmpty()){
   
   
                queue.remove();
                edgeNode firstNode = g.vertex[i].firstNode;
                while (firstNode != null){
   
   
                    if (!visited[firstNode.index]){
   
   
                        visited[firstNode.index] = true;
                        res[j++] = g.vertex[firstNode.index].date;
                        queue.add(firstNode.index);
                    }
                    firstNode = firstNode.next;
                }
            }
        }
    }
    return res;
}