算法01-算法概念与描述

总结

本系列为C++算法学习系列，会介绍 算法概念与描述，入门算法，基础算法，数值处理算法，排序算法，搜索算法，图论算法， 动态规划等相关内容。本文为C+算法概念与描述部分。

大纲要求

【 1 】算法概念

【 2 】算法描述：自然语言描述、流程图描述、 伪代码描述

算法概念

信息学奥赛算法是指用计算机解决问题的方法和技巧。其核心在于算法的设计和优化，包括时间复杂度和空间复杂度等方面的优化。下面是一些常见的算法概念介绍：

1. 排序算法：将一组数据按照指定的规则进行排序的算法，包括冒泡排序、快速排序、归并排序等。
   
2. 搜索算法：通过遍历某个数据集合来查找特定元素的算法，包括二分查找、深度优先搜索、广度优先搜索等。
   
3. 图论算法：用于解决图论相关问题的算法，包括最短路径算法、最小生成树算法、拓扑排序等。
   
4. 动态规划算法：将一个问题分解成一个个子问题来求解的算法，包括最大子序列和、最长公共子序列等。
   
5. 贪心算法：在每一步选择中都采取在当前状态下最优的选择，从而希望导致结果是全局最优的算法，包括背包问题等。
   
6. 分治算法：将问题分解成多个小问题来求解的算法，包括快速排序、归并排序等。
   
7. 字符串算法：用于解决字符串相关问题的算法，包括KMP算法、Trie树等。
   

举个例子：量水问题

假设有两只没有刻度的桶A和B，A可以装7升水，B可以装5升水，问：如何通过A和B互相倒腾得到六升水。

解：

将A装满（0升变7升）

将A的水倒向B，（A从7升剩2升，B变5升）

将B倒掉，

将A（2升b变0）倒向B（0变2升）

将A装满水

将A倒向B（此时A从7升变4升，B从2升变5升）

将B倒掉，

将A（4升）倒向B（从0升变4升）

将A装满水

将A再倒向B（从4升变5升，A此时剩余6升。

简化步骤：

将下面（2，3，4，5）重复两次

2、将A装满

3、将A的水倒向B

4、将B倒掉

5、将A倒向B

6、将A装满水

7、将A再倒向B

算法简单来说就是准确描述的“操作步骤”。

什么是计算机算法 —— 从特殊到一般的追求。

上面的例子我们给定的是具体的值，但是计算机算法是要追求一般的规律。

我们可以理解为数学公式，它不是具体的值，但解释了一般规律。

算法描述

算法描述：自然语言描述、流程图描述、 伪代码描述

**自然语言描述：**通过自然语言来描述算法的步骤和操作。例如，冒泡排序算法可以用如下自然语言描述：从数组的第一个元素开始，依次比较相邻的两个元素，如果前一个元素大于后一个元素，则交换它们的位置，直到将最大的元素移动到数组的最后一个位置。重复上述操作，直到所有元素都排好序为止。

初始化变量 i 和 j 为 0，表示当前需要比较的元素下标。

在数组 A 中比较 A[i] 和 A[j] 两个元素，如果 A[i] 大于 A[j]，则交换它们的位置。

将 j 增加 1，如果 j < n，则回到步骤 2；否则，将 i 增加 1，将 j 重置为 i，如果 i < n-1，则回到步骤 2。

当 i >= n-1 时，排序结束。

**流程图描述：**通过图形化方式来表示算法的步骤和操作。例如，下图是一个简单的冒泡排序算法的流程图描述：

**伪代码描述：**通过一种类似编程语言的语法来描述算法的步骤和操作。伪代码通常比自然语言描述更具体和精确。例如，下面是一个用伪代码描述的冒泡排序算法：

procedure bubbleSort(A : list of sortable items)
    n = length(A)
    repeat
        swapped = false
        for i = 1 to n-1 do
            if A[i] > A[i+1] then
                swap(A[i], A[i+1])
                swapped = true
            end if
        end for
        n = n - 1
    until not swapped
end procedure

假设有两只没有刻度的桶A和B，A可以装7升水，B可以装5升水，问：如何通过A和B互相倒腾得到六升水。

算法的时间复杂度

算法的时间复杂度是衡量算法运行时间效率的一种指标，通常用大O表示法来表达。它描述了算法在处理问题时所需的时间资源，即算法的时间复杂度越低，算法的执行效率越高。

时间复杂度通常表示为一个函数T(n)，其中n表示输入规模。时间复杂度可以分为以下几类：

1. 常数时间复杂度O(1)，表示算法的执行时间与输入规模 n 无关，比如说访问数组中的一个元素。

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

2. 线性时间复杂度O(n)，表示算法的执行时间与输入规模 n 成正比，比如说遍历一个数组。

for(i=1; i<=n; ++i)
{
   j = i;
   j++;
}

3. 对数时间复杂度O(logn)，表示算法的执行时间与输入规模 n 的对数成正比，通常出现在二分查找等算法中。

int i = 1;
while(i<n)
{
    i = i * 2;
}

3. 线性对数阶O(nlogN)

线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)。

for(m=1; m<n; m++)
{
    i = 1;
    while(i<n)
    {
        i = i * 2;
    }
}

4. 平方时间复杂度O(n^2)，表示算法的执行时间与输入规模 n 的平方成正比，通常出现在多重循环嵌套的算法中。

for(x=1; i<=n; x++)
{
   for(i=1; i<=n; i++)
    {
       j = i;
       j++;
    }
}

6. 指数时间复杂度O(2^n)，表示算法的执行时间与输入规模 n 的指数成正比，通常只出现在具有递归性质的算法中。

综上所述，算法的时间复杂度是评价算法效率的重要指标之一。在实际编程中，我们需要根据不同的需求选择不同的算法和数据结构，以提高程序的执行效率。算法的时间复杂度是衡量算法运行时间效率的一种指标，通常用大O表示法来表达。它描述了算法在处理问题时所需的时间资源，即算法的时间复杂度越低，算法的执行效率越高。