数据结构与算法学习二二:图的学习、图的概念、图的深度和广度优先遍历

简介: 这篇文章详细介绍了图的概念、表示方式以及深度优先遍历和广度优先遍历的算法实现。

前言

一、为什么要有图

  1. 前面我们学了线性表和树
  2. 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
  3. 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
  4. 当我们需要表示多对多的关系时, 这里我们就用到了图

二、图的举例说明

图是一种数据结构,其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图:

在这里插入图片描述

三、图的常用概念

  1. 顶点(vertex)

  2. 边(edge)

  3. 路径

  4. 无向图(右图)

    在这里插入图片描述

  5. 有向图

    在这里插入图片描述

  6. 带权图

    在这里插入图片描述

四、图的表示方式

图的表示方式有两种:二维数组表示(邻接矩阵);链表表示(邻接表)。

4.1 邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵,对于n个顶点的图而言,矩阵是的row和col表示的是1…n个点。

在这里插入图片描述

4.2 邻接表

邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间,其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
邻接表的实现只关心存在的边,不关心不存在的边。因此没有空间浪费,邻接表由数组+链表组成

在这里插入图片描述

五、图的快速入门案例

  1. 要求: 代码实现如下图结构.

    在这里插入图片描述

  2. 思路分析 (1) 存储顶点String 使用 ArrayList (2) 保存矩阵 int[][] edges
  3. 代码实现
    核心代码,汇总在后面
    // 插入 结点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }

    // 添加边

    /**
     * @param v1     表示点的下标 即第几个定点 “A”-“B” "A"->0 "B"->1
     * @param v2     第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示关联 , 0或者1
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight; // 反向也可以
        numOfEdges++;
    }

六、图的深度优先遍历介绍

6.1 图遍历介绍

所谓图的遍历,即是对结点的访问。一个图有那么多个结点,如何遍历这些结点,需要特定策略,一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历

6.2 深度优先遍历基本思想

图的深度优先搜索(Depth First Search) 。

  1. 深度优先遍历,从初始访问结点出发,初始访问结点可能有多个邻接结点,深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点,然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点,访问它的第一个邻接结点, 可以这样理解:每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

  2. 我们可以看到,这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入,而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。

  3. 显然,深度优先搜索是一个递归的过程

6.3 深度优先遍历算法步骤

  1. 访问初始结点v,并标记结点v为已访问。
  2. 查找结点v的第一个邻接结点w。
  3. 若w存在,则继续执行4,如果w不存在,则回到第1步,将从v的下一个结点继续。
  4. 若w未被访问,对w进行深度优先遍历递归(即把w当做另一个v,然后进行步骤123)。
  5. 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点,转到步骤3。

看一个具体案例分析:

在这里插入图片描述

6.4 核心代码

    // 深度优先遍历算法
    // i 第一次就是 0
    public void dfs(boolean isVisited[], int i) {
        // 首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        // 将结点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        // 查找结点 i 的第一个邻接结点 w (w就是下标)  (i, w) 就是直接关系,前提 w 不为 -1
        int w = getFirstNeighbor(i);

        while (w != -1) { // 说明 有邻接结点
            if (!isVisited[w]) { // 为 true时,说明未被访问。
                dfs(isVisited, w); // 递归
            }
            // 如果 w 结点被访问, 则根据前一个邻接结点的下标 来 获取下一个邻接结点
            w = getNextNeighbor(i, w);

        }
    }

    // 对 dfs 进行一个重载,遍历所有结点,并进行 dfs
    public void depthFirstSearch() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        // 遍历所有结点,进行dfs(回溯)
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { // getNumOfVertex() 结点个数
            if (!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

七、图的广度优先遍历

7.1 广度优先遍历基本思想

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
类似于一个分层搜索的过程,广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序,以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

7.2广度优先遍历算法步骤

  1. 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
  2. 结点v入队列
  3. 当队列非空时,继续执行,否则算法结束。
  4. 出队列,取得队头结点u。
  5. 查找结点u的第一个邻接结点w。
  6. 若结点u的邻接结点w不存在,则转到步骤3;否则循环执行以下三个步骤:
    6.1 若结点w尚未被访问,则访问结点w并标记为已访问。
    6.2 结点w入队列
    6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w,转到步骤6。

广度优先举例说明

在这里插入图片描述

7.3 核心代码

    /*
     * 广度 优先遍历的方法, 没用递归
     * */

    // 对一个节点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u; // 表示队列的头结点对应下标
        int w; // 邻接结点 w
        //队列,记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点,输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);

        while (!queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头结点下标
            u = (Integer) queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1) {//找到
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点(起始点),找w后面的下一个邻结点
                w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先  // 以 u 为一行的 下一个 w 的结点
            }
        }
    }

    //遍历所有的结点,都进行广度优先搜索
    public void broadFirstSearch() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

八、图的代码汇总

8.1 Graph图类

package com.feng.ch17_graph;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

public class Graph {

    private ArrayList<String> vertexList; // 储存定点集合
    private int[][] edges; // 存储图对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges;// 表示边的数目

    //定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
    private boolean[] isVisited;

    // 构造器
    public Graph(int n) {
        // 初始化矩阵和 vertexList
        this.vertexList = new ArrayList<String>(n);
        this.edges = new int[n][n];
        this.numOfEdges = 0;

    }

    /*
     * 深度 优先遍历的方法
     * */

    // 得到 第一个邻接结点 的下标 w

    /**
     * @param index 传入的下标的行
     * @return 如果存在就返回对应的下标,否则返回 -1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[index][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    // 根据前一个邻接结点的下标 来 获取下一个邻接结点
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
        for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[v1][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    // 深度优先遍历算法
    // i 第一次就是 0
    public void dfs(boolean isVisited[], int i) {
        // 首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        // 将结点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        // 查找结点 i 的第一个邻接结点 w (w就是下标)  (i, w) 就是直接关系,前提 w 不为 -1
        int w = getFirstNeighbor(i);

        while (w != -1) { // 说明 有邻接结点
            if (!isVisited[w]) { // 为 true时,说明未被访问。
                dfs(isVisited, w); // 递归
            }
            // 如果 w 结点被访问, 则根据前一个邻接结点的下标 来 获取下一个邻接结点
            w = getNextNeighbor(i, w);

        }
    }

    // 对 dfs 进行一个重载,遍历所有结点,并进行 dfs
    public void depthFirstSearch() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        // 遍历所有结点,进行dfs(回溯)
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { // getNumOfVertex() 结点个数
            if (!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    /*
     * 广度 优先遍历的方法, 没用递归
     * */

    // 对一个节点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u; // 表示队列的头结点对应下标
        int w; // 邻接结点 w
        //队列,记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点,输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);

        while (!queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头结点下标
            u = (Integer) queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1) {//找到
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点(起始点),找w后面的下一个邻结点
                w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先  // 以 u 为一行的 下一个 w 的结点
            }
        }
    }

    //遍历所有的结点,都进行广度优先搜索
    public void broadFirstSearch() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    /*
     * 图中常用方法
     * */
    // 返回结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }
    // 得到的边数目
    // getNumOfEdges() 方法

    // 返回结点 i (下标) 对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    // 返回v1 和 v2 的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    // 显示图对应的矩阵
    public void show() {
        for (int[] link : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    // 插入 结点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }

    // 添加边

    /**
     * @param v1     表示点的下标 即第几个定点 “A”-“B” "A"->0 "B"->1
     * @param v2     第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示关联 , 0或者1
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight; // 反向也可以
        numOfEdges++;
    }

    public ArrayList<String> getVertexList() {
        return vertexList;
    }

    public void setVertexList(ArrayList<String> vertexList) {
        this.vertexList = vertexList;
    }

    public int[][] getEdges() {
        return edges;
    }

    public void setEdges(int[][] edges) {
        this.edges = edges;
    }

    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    public void setNumOfEdges(int numOfEdges) {
        this.numOfEdges = numOfEdges;
    }
}

8.2 GraphMain测试类

package com.feng.ch17_graph;

public class GraphMain {

    public static void main(String[] args) {
        // 测试 图是否创建
        int n = 8; // 结点个数
//        String vertexs[] = {"A","B","C","D","E"};
        String vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};

        Graph graph = new Graph(n);

        // 循环添加节点
        for (String vertex : vertexs){
            graph.insertVertex(vertex);
        }

        // 添加边
        // ab ac bc bd be
//        graph.insertEdge(0, 1, 1); // ab
//        graph.insertEdge(0, 2, 1);
//        graph.insertEdge(1, 2, 1);
//        graph.insertEdge(1, 3, 1);
//        graph.insertEdge(1, 4, 1);

        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);
        graph.insertEdge(3, 7, 1);
        graph.insertEdge(4, 7, 1);
        graph.insertEdge(2, 5, 1);
        graph.insertEdge(2, 6, 1);
        graph.insertEdge(5, 6, 1);

        // 显示邻接矩阵
        graph.show();
        System.out.println();

        // 深度遍历
        System.out.println("深度优先遍历");
        graph.depthFirstSearch(); // A->B->C->D->E->    1->2->4->8->5->3->6->7->
        System.out.println();
        System.out.println();

        // 广度遍历
        System.out.println("广度优先遍历");
        graph.broadFirstSearch(); // A=>B=>C=>D=>E=>    1=>2=>3=>4=>5=>6=>7=>8=>
    }
}

8.3 测试结果

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