【机器学习】解释对偶的概念及SVM中的对偶算法?(面试回答)

简介: 解释了对偶的概念,指出对偶性在优化问题中的重要性,尤其是在强对偶性成立时可以提供主问题的最优下界,并且详细阐述了支持向量机(SVM)中对偶算法的应用,包括如何将原始的最大间隔优化问题转换为对偶问题来求解。

对偶的概念?

(1)概念
对偶一般来说是以一对一的方式,常常通过某个对合算子,把一种概念、公理或数学结构转化为另一种概念、公理或数学结构:如果A的对偶是B,那么B的对偶是A。在强对偶性成立的情况下由对偶问题可以得到主问题的最优下界,对偶问题是凸优化问题,可以进行较好的求解。

(2)SVM中的对偶算法
原始最大间隔最优化问题,先转为拉格朗日函数问题,再将拉格朗日函数转为求其对偶问题,即将朗格朗日优化问题中的 min(max) 求解顺序对调,变为max(min)。

原朗格朗日最优化目标函数
$$m i n ( m a x ( L ( x , α , β ) ) ) $$
对偶最优化目标函数
$$m a x ( m i n ( L ( x , α , β ) ) ) $$

原始问题外层的优化目标参数直接是 x ,无法直接去优化得到这个参数,因为还存在着其他未知的拉格朗日参数。所以,对偶问题外层的优化目标参数是拉格朗日参数,然后通过求得的拉格朗日参数,间接得到最终要求的超平面的参数 x 。这样就可以通过求解对偶问题得到原始问题的最优解。

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