2.2 基本矩阵操作（1）
2.2.1 矩阵和数组的概念及其区别
对矩阵的基本操作，主要有矩阵的构造、矩阵大小及结构的改变、矩阵下标引用、矩阵信息的获取等。对于这些操作，MATLAB中都有固定指令或相应的库函数与之相对应。
在数学上，定义由m×n个数aij(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表
为m行n列矩阵，并用大写黑体字母表示它。
只有一行的矩阵
称为行向量。
同理，只有一列的矩阵
称为列向量。
矩阵最早来自方程组的系数及常数所构成的方阵，这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。数组是在程序设计中，为了处理方便，把具有相同类型的若干变量按有序的形式组织起来的一种形式。这些按序排列的同类数据元素的集合称为数组。
在MATLAB中，一个数组可以分解为多个数组元素，这些数组元素可以是基本数据类型或构造类型。因此，按数组元素的类型不同，数组又可分为数值数组、字符数组、单元数组、结构数组等。
由此可见，矩阵和数组在MATLAB中存在很多方面的区别，主要有以下几个方面：
● 矩阵是数学上的概念，而数组是计算机程序设计领域的概念。
● 作为一种变换或者映射运算符的体现，矩阵运算有着明确而严格的数学规则；而数组运算是MATLAB软件定义的规则，其目的是使数据管理方便，操作简单，命令形式自然，执行计算有效。
两者间的联系主要体现在：在MATLAB中，矩阵是以数组的形式存在的。因此，一维数组相当于向量，二维数组相当于矩阵，所以矩阵是数组的子集。
2.2.2 矩阵的构造
矩阵的构造方式有两种，一种与单元数组相似，可以对变量直接进行赋值；另一种是使用MATLAB中提供的构造特殊矩阵的函数，如表2-12所示。
表2-12 特殊矩阵的构造函数
函数名称 |
函数功能 |
ones(n) |
构建一个n×n的1矩阵（矩阵的元素全部是1） |
ones(m,n,…,p) |
构建一个m×n×…×p的1矩阵 |
ones(size(A)) |
构建一个和矩阵A同样大小的1矩阵 |
zeros(n) |
构建一个n×n的0矩阵（输出矩阵的元素全部是0） |
zeros(m,n,…,p) |
构建一个m×n×…×p的0矩阵 |
zeros(size(A)) |
构建一个和矩阵A同样大小的0矩阵 |
eye(n) |
构建一个n×n的单位矩阵 |
eye(m,n) |
构建一个m×n的单位矩阵 |
eye(size(A)) |
构建一个和矩阵A同样大小的单位矩阵 |
magic(n) |
构建一个n×n的矩阵，其每一行、每一列的元素之和都相等 |
rand(n) |
构建一个n×n的矩阵，其元素为0~1之间均匀分布的随机数 |
rand(m,n,…,p) |
构建一个m×n×…×p的矩阵，其元素为0~1之间均匀分布的随机数 |
randn(n) |
构建一个n×n的矩阵，其元素为零均值、单位方差的正态分布随机数 |
randn(m,n,…,p) |
构建一个m×n×…×p的矩阵，其元素为零均值、单位方差的正态分布随机数 |
diag(x) |
构建一个n维的方阵，它的主对角线元素值取自向量x，其余元素的值都为0 |
diag(A,k) |
构建一个由矩阵A第k条对角线的元素组成的列向量 k = 0为主对角线；k < 0为下第k条对角线；k > 0为上第k条对角线 |
diag(x,k) |
构建一个(n+|k|)×(n+|k|)维的矩阵，该矩阵的第k条对角线元素取自向量x，其余元素都为0（关于参数k，参考上个命令） |
triu(A) |
构建一个和A大小相同的上三角矩阵，该矩阵的主对角线上元素为A中相应元素，其余元素都为0 |
triu(A,k) |
构建一个和A大小相同的上三角矩阵，该矩阵的第k条对角线及其以上元素为A中相应元素，其余元素都为0 |
tril(A) |
构建一个和A大小相同的下三角矩阵，该矩阵的主对角线上元素为A中相应元素，其余元素都为0 |
tril(A,k) |
构建一个和A大小相同的下三角矩阵，该矩阵的第k条对角线上及其以下元素为A中相应元素，其余元素都为0 |
1．建立简单矩阵
简单矩阵采用矩阵构造符号——方括号“[]”，将矩阵元素置于方括号内，同行元素之间用空格或逗号隔开，行与行之间用分号“;”隔开，格式如下：
matrixName = [element11, element12, element13; element21, element22, element23] matrixName = [element11 element12 element13; element21 element22 element23]
例2-31：简单矩阵构造示例。
分别构造一个二维矩阵、一个行向量、一个列向量。在命令行窗口中依次输入：
A = [2,3,5;3,6,10] % 使用逗号和分号构造二维矩阵 B = [2 3 5;3 6 10] % 使用空格和分号构造二维矩阵 V1 = [8,59,60,33] % 构造行向量 V2 = [5;8;3;4;9] % 构造列向量
程序运行过程中的输出如下：
A = 2 3 5 3 6 10 B = 2 3 5 3 6 10 V1 = 8 59 60 33 V2 = 5 8 3 4 9
2．建立特殊矩阵
特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵，常见的特殊矩阵有对称矩阵、三角矩阵和对角矩阵等。
例2-32：特殊矩阵构造示例。
在命令行窗口中输入：
OnesMatrix = ones(2),ZerosMatrix = zeros(2),Identity = eye(2),Identity23 = eye(2,3),Identity32 = eye(3,2)
输出结果：
OnesMatrix = 1 1 1 1 ZerosMatrix = 0 0 0 0 Identity = 1 0 0 1 Identity23 = 1 0 0 0 1 0 Identity32 = 1 0 0 1 0 0
在命令行窗口中输入：
Random = rand(2,3),Array = Random(:,2),Diagelement = diag(Random),Diagmatrix = diag(diag(Random)),Dmatrix_array = diag(Array),UpperTriangular = triu(Random),LowerTriangular = tril(Random)
输出结果：
Random = 0.0975 0.5469 0.9649 0.2785 0.9575 0.1576 Array = 0.5469 0.9575 Diagelement = 0.0975 0.9575 Diagmatrix = 0.0975 0 0 0.9575 Dmatrix_array = 0.5469 0 0 0.9575 UpperTriangular = 0.0975 0.5469 0.9649 0 0.9575 0.1576 LowerTriangular = 0.0975 0 0 0.2785 0.9575 0
3．向量、标量和空矩阵
通常情况下，矩阵包含m行n列，即m×n。当m和n取一些特殊值时，得到的矩阵具有一些特殊的性质。
（1）向量。
当m=1或n=1，即1×n或m×1时，建立的矩阵称为向量。例如输入：
a = [1 2 3 4 5 6] b = [1;2;3;4;5;6] whos % 调用whos函数查看变量a、b的相关信息
得到结果：
a = 1 2 3 4 5 6 b = 1 2 3 4 5 6 Name Size Bytes Class Attributes a 1x6 48 double b 6x1 48 double
（2）标量。
当m=n=1时，建立的矩阵称为标量。任意以1×1的矩阵形式表示的单个实数、复数都是标量。
例2-33：在MATLAB中，标量有两种表示方法。例如，在命令行窗口中依次输入：
x = 10 + 2i % 将复数10 + 2i赋值给变量x shape = size(x) % 查询变量x的形状信息 y = [10 + 2i] % 将复数10 + 2i构成的矩阵赋值给变量y shape = size(y) % 查询变量y的形状信息 x == y % 判断变量x和y是否相等，“1”表示相等，“0”表示不相等
得到结果：
x = 10.0000 + 2.0000i shape = 1 1 y = 10.0000 + 2.0000i shape = 1 1 ans = logical 1
通过上述示例可知，单个实数或复数在MATLAB中都是以矩阵的形式存储的；在MATLAB中，单个数据或由单个数据构造的矩阵都是标量。
（3）空矩阵。
当m=n=0，或者m=0，或者n=0，即0×0、0×n、m×0时，创建的矩阵称为空矩阵。空矩阵可以通过赋值语句建立。例如输入：
x = [] % 建立一个空矩阵 whos x % 调用whos函数查看变量x的相关信息
得到结果：
x = [] Name Size Bytes Class Attributes x 0x0 0 double
而再建立一个0矩阵，可以输入：
z = [0 0 0;0 0 0] % 建立一个2行3列的0矩阵 whos z % 调用whos函数查看变量z的相关信息
得到结果：
z = 0 0 0 0 0 0 Name Size Bytes Class Attributes z 2x3 48 double
空矩阵和0矩阵的本质区别在于：空矩阵内没有任何元素，因此不占用任何存储空间；而0矩阵表示该矩阵中的所有元素全部为0，需要占用一定的存储空间。
2.2.3 矩阵大小及结构的改变
根据运算时的不同情况和需要，矩阵大小及结构的改变方式主要有旋转矩阵、改变矩阵维度、删除矩阵元素等。MATLAB中提供的具体此类函数如表2-13所示。
表2-13 矩阵旋转与改变维度的函数
函数名称 |
函数功能 |
fliplr(A) |
矩阵每一行均进行逆序排列 |
flipud(A) |
矩阵每一列均进行逆序排列 |
flipdim(A,dim) |
生在一个在dim维矩阵A内的元素交换位置的多维矩阵 |
rot90(A) |
生成一个由矩阵A逆时针旋转90°而得到的新矩阵 |
rot90(A,k) |
生成一个由矩阵A逆时针旋转k×90°而得到的新矩阵 |
reshape(A,m,n) |
生成一个m×n×维的矩阵，其元素以线性索引的顺序从矩阵A中取得 如果矩阵A中没有m×n×个元素，将返回一条错误信息 |
repmat(A,[m n …p]) |
创建一个和矩阵A有相同元素的m×n×…×p块的多维矩阵 |
shiftdim(A,n) |
矩阵的列移动n步。n为正数，矩阵左移；n为负数，矩阵右移 |
squeeze(A) |
返回没有空维的矩阵A |
cat(dim,A,B) |
将矩阵A和B组合成一个dim维的多维矩阵 |
permute(A,order) |
根据向量order来改变矩阵A中的维数顺序 |
ipermute(A,order) |
进行命令permute的逆变换 |
sort(A) |
对一维或二维矩阵进行升序排序，并返回排序后的矩阵 当A为二维矩阵时，对矩阵的每一列分别进行排序 |
sort(A,dim) |
对矩阵按指定的方向进行升序排序，并返回排序后的矩阵。当dim = 1时，对矩阵的每一列排序；当dim = 2时，对矩阵的每一行排序 |
sort(A,dim,mode) |
当mode为'ascend'时，进行升序排序； 当mode为'descend'时，进行降序排序； |
[B,IX] = sort(A,…) |
IX为排序后备元素在原矩阵中的行位置或列位置的索引 |
例2-34：矩阵的旋转与维度的改变。
在命令行窗口中输入：
Randoma = randn(1,4),Randomb = randn(2),Randoma = reshape(Randoma,2,2),Randoma = fliplr(Randoma),Randoma = rot90(Randoma),Randomc = cat(2,Randoma,Randomb)
输出结果：
Randoma = 3.0349 0.7254 -0.0631 0.7147 Randomb = -0.2050 1.4897 -0.1241 1.4090 Randoma = 3.0349 -0.0631 0.7254 0.7147 Randoma = -0.0631 3.0349 0.7147 0.7254 Randoma = 3.0349 0.7254 -0.0631 0.7147 Randomc = 3.0349 0.7254 -0.2050 1.4897 -0.0631 0.7147 -0.1241 1.4090
