几何概率
问题:若E满足:样本空间S含无限多个样本点;每个基本事件(样本点)发生的可能性相同;那么E的概率模型还是等可能概型吗?相应事件的概率又如何来求?
定义:
若随机试验E满足:
(1 )样本空间S是R"(n=1,2,3)中一个可度量的几何区域;
(2)每个样本点出现的概率相等，即样本点落入s某- -可度量的子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置及形状无关.
则事件A= {样本点落入区域A}的概率为
P(A)=A的几何度量(长度，面积，体积)/S的几何度量(长度,面积，体积)
'注: (1)古典概型:基本事件有限、等可能的随机试验;
(2)几何概型:基本事件无限、等可能的随机试验.
例题:
条件概率
引入:若已知某事件发生,如何求另一事件发生的概率?
定义:
设A,B是两个事件，且P(A)>0, 称P(B|A)=P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
注:要注意P(AB)与P(B|A)的区别:
P(AB)是在样本空间为S时，A, B同时发生的可能性,
P(B|A)则表示在A发生的条件下，B发生的可能性，此时样本空间已由S缩减为A.
只要在题设条件中有:“已知 A发生”或“在A发生的条件下”等,均要考虑条件概率.
性质:
例题:
乘法公式
回忆:条件概率
定理
设P(A)>0,则有P(AB)= P(A)P(B|A)上式称为乘法公式。
设P(B)>0,则有P(AB)=P(B)P(A|B)
推广:
(1)设A,B,C为事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB).
证明:P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
(2)设A,A,,A,为n个事件，n≥2,且P(A1A2...A.n)>0,则有P(A1A2...An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)-.. P(A, |A1A2--An-1.)
注: (1)注意事件发生先后次序，Ai先于Ai+1发生，可用上式.
(2)主要用来计算没有相互独立性的若干事件的积事件的概率.
全概率公式
引入:在很多实际问题中，P(A)不易直接求得，但却容易得到一-组事件，它们两两互不相容，且和事件为样本空间，并且知道相关事件概率，则此时就可以求出P(A).即:
引入:设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,.,..,Bn 为S的一-个划分,且P(Bi)>0(i=l,2,,n),那么P(A)=?
定理:设实验E的样本空间位S,A为E的事件,B1,B2,,,Bn为S的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,,,n)，则P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+.....P(Bn)P(A|Bn)
贝叶斯公式
定理:
注:此公式先是应用条件概率公式,分母为全概率公式,是n项之和,分子是分母中的某一项,贝叶斯公式:由果导因;
全概率公式:把全概率公式中的A视为"果"，把B1,B2,,,Bn视为"因",则全概率公式反应的是"由因求果"的概率问题.
例题:
独立性
回忆:条件概率
定义:
若A,B为两个事件,如果其中任何一个事件发生的概率不受另一个事件发生与否的影响,则称事件A与B相互独立.
P(B|A)=P(B);
P(A|B)=P(A);
数学定义:
设A,B为两个事件,如果P(AB)= P(A)P(B),则称事件A与B相互独立,简称A与B独立.
独立性与事件的:包含，相等,相容,对立关系不同;
注: (1)两事件相互独立与互不相容的关系.
若P(A)>0,P(B)>0则A,B独立与互不相容不能同时成立.
A,B独立>>P(AB)=P(A)P(B)>0
A,B互不相容>>AB=空,>>P(AB)=0
(2)必然事件及不可能事件与任意事件相互独立.
定理一设A,B是两事件， 且P(A)>0, 若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B)， 反之亦然.
定理二若事件A与B相互独立,则下列各对事件也相互独立: A与B，A与B，A与B.
