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在本笔记本中，我们向读者介绍了基本的随机波动率模型，并通过连续序列重要性重采样讨论了它们的估计。我们使用收益率数据集来讨论 CSIR 在随机波动率模型估计中的实现和性能。
第一个随机波动率模型
令 yt 为时间 t 的股票收益，σt 为其标准差。考虑以下离散时间随机波动率模型：
zt∼N(0,1) 和 ηt∼N(0,τ2) ，
τ>0 和 |φ1|<1 以确保波动率遵循平稳过程。直观地说，波动过程被建模为一个潜在过程，其中 log(σ2t) 遵循 AR(1) 过程。我们模拟了这个过程。在笔记本上，我们将继续处理这些模拟数据。为简洁起见，我们定义 αt=log(σ2t) 和 θ=(ϕ0,ϕ1,τ) 为参数向量。
## ＃＃我们模拟数据。 ##我们设定pi_0 = 0.05, pi = 0.98, tau = 0.02 ##模拟数据的函数 #Input 2: T - 时间序列的大小 #Ouput: retF - 模拟的收益率（y）和波动率（alpha）。 pi <- thta\[2\] # 自相关系数 phi tu2 <- heta\[3\] # 具有tau2方差的正常误差 eta <- rorm(T, 0, sqrt(tau2)) # AR(1)波动率模型的误差 z <- rnrm(T, 0, 1) # 倍增项回报模型 alha\[1\] <- cost # 在开始阶段没有自相关的观察值 # 仿真时间序列 smdf <- s_sm(theta, T) y <- smdf$y lpa <- smdf$apha
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PYTHON用时变马尔可夫区制转换（MRS）自回归模型分析经济时间序列
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隐马尔可夫模型：定义
上面显示的模型属于更一般的隐马尔可夫模型类。设 h(αt|αt-1;θ) 为跃迁密度，g(yt|αt;θ) 为测量密度。
序列蒙特卡罗
对于估计，我们使用序列蒙特卡罗，通过生成 P 随机抽取，称为“粒子”，以近似预测和过滤密度。虽然有很多变体，但我们只讨论（连续）序列重要性重采样（SIR）。
SIR有两个步骤，预测和过滤步骤。
具有连续序列重要性重采样的过滤步骤：算法
连续序列重要性重采样(CSIR) 是 SIR 的一种变体，它提供了过滤粒子的连续版本。该方法的主要优点是它确保模拟似然相对于参数 θ 的向量是“平滑的”，以便能够使用基于梯度的优化方法进行优化。
使用 CSIR 的过滤步骤的算法如下：
- 输入：
- 具有条目 u(j) 的排序均匀随机采样向量（拒绝采样）；
- 对于定义为 W(i)t 的每个粒子 α(i)t 在 yt 处评估的正态 PDF；
- 从预测密度 α(i)t 中排序。
代码
下面我们生成粒子集，并使用 SIR 近似过滤和预测密度。在第一个图中，我们显示了预测密度平均值及其 95 和 5 分位数。在同一个图中，我们还绘制了波动率的真实值。在第二个图中，我们绘制了过滤密度的热图。黑线是真正的波动率。
# --> （原始）序列重要性取样算法：过滤步骤 # 输入 1: appr - 预测密度 # 输入 2: aha_t - 在 y\[t\]评估的正态 pdf # 输入 3: u - 排序均匀的随机采样向量(拒绝采样) # 输出：alphp - 粒子过滤 # 排序和加权的速度减慢 alhawt <- alph\_wt/sum(alpha\_wt) alpa\_rt <- cbind(seq(1,P,1),alpha\_pr) alhapr\_id <- lpha\_sort\[order(alha_r\[,2\]),\]。 alhapr <- alpha_ridx\[,2\] alph\_ix <- alha\_p_idx\[,1\] alha\_wt <- alp\_w\[alpha_idx\] alhacwt <- c(0, cumsum(alpha_wt)) j <- 1 for (i in 1:P) while((aphawt\[i\] < u\[j\]) && (u\[j\] <= alpawt\[i+1\])){ lp\_up\[j\] <- alpa\_r\[i\] 。 } # ---------------------------------------------------------------------- # 设置粒子过滤 # ---------------------------------------------------------------------- P <- 200 # 设置粒子的数量 lph_up <- rnorm(P,0,0.1) alpar <- rep(0,P) aha_w <- rep(1,P)/P alphup_mt <- matrix(rep(0,T*3),T) ala_pmat <- matrix(rep(0, T*3),T) ah_prare <- matrix(rep(0, T*20),T) # 从一个近似值中生成一个由P个随机抽样组成的粒子集 # 每个时间序列点的预测和过滤分布的近似值 for (t in 1:T){ # 预测步骤 appr <- nst + phi * alpp + rnorm(P,0,srt(tau2)) # 更新/过滤步骤(态密度) ahat <- dnorm(y\[t\]*rep1,P), mean=0 , sd = exp(phar/2) alpap <- sir(alhapr=aph\_r,alhawt=alpa\_t, u=sort(runif(P,0,1)) # 绘制预测密度图 plot(sqrt(252) * exp(alpha/2), type='l') ## 筛选密度热图 het <- matrix(rep(1,T*20), T, 20) plot(NULL, xlim = c(1, T), ylim = c(0, 160), main="过滤密度热图",
在下一部分中，我们提供了 CSIR 的 R 和 C 版本。R 版本仅出于代码可读性的目的而提供。
###连续序列重要性重取样：过滤步骤 # 输入 1: alppr - 预测密度 # 输入 2: alhawt - 在 y\[t\]处评估的正态 pdf # 输入 3: u - 排序均匀的随机采样向量(拒绝采样) # 输出：ala_up - 粒子过滤（连续版本）。 # R版本(性能较慢) cir <- function(aph_r, phwt, u) { P <- length(aphpr) al_p <- rep(0,P) # 排序和加权的速度减慢 alpha\_wt <- alpha\_wt/sum(alpha_wt) j <- 1 for (i in 1:P){ while((a_ct\[i\] < u\[j\]) & (u\[j\] <= alhwt\[i+1\])){ alh\_u\[j\] <- aph\_pr\[i\] + ((apapr\[i+1\]-alar\[i\])/(ala\_ct\[i+1\]-alpha\_cwt\[i\]) * (u\[j\]-ala_wt\[i\]) } csir.c <- function(alppr, aht, u) { P <- length(alpap) ala_u <- rep(0,P) .C("cir", alpup=as.dole(aphup), alha\_pr=as.double(aha\_r), alh_wt=as.doublephawt), u=as.double(u),
我们现在提供用于最大化对数似然和估计参数 θ 的代码。为了计算标准误差，我们使用在 MLE 评估的对数似然的 Hessian 矩阵的逆矩阵的对角线。
我们现在可以转到参数θ的估计。使用 C 中的函数进行估计。
vas <- sfit(y, c(0.5,0.5,0.5), P, 1) ## 显示结果 matrix <- cbind(heta_mle ,eta_se)
矩阵
