整数划分问题

       整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

       n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

       如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

       例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

       注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

       该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;

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                                           （一）递归法

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       根据n和m的关系，考虑以下几种情况： 

       （1）当 n = 1 时，不论m的值为多少（m > 0 )，只有一种划分即 { 1 };

        (2)  当 m = 1 时，不论n的值为多少，只有一种划分即 n 个 1，{ 1, 1, 1, ..., 1 };

        (3)  当 n = m 时，根据划分中是否包含 n，可以分为两种情况：

              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即 { n }；

              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。

              因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);

        (4) 当 n < m 时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 f(n, n);

        (5) 但 n > m 时，根据划分中是否包含最大值 m，可以分为两种情况：

               (a). 划分中包含 m 的情况，即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和为 n - m，可能再次出现 m，因此是（n - m）的 m 划分，因此这种划分

                     个数为 f(n-m, m);

               (b). 划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 划分，个数为 f(n, m - 1);

              因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);

         综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

         f(n, m) =      1;                                        ( n = 1 or m = 1 )

                            f(n, n);                                 ( n < m )

                            1+ f(n, m - 1);                      ( n = m )

                            f(n - m, m) + f(n, m - 1);       ( n > m )

          因此我们可以给出求出 f(n, m) 的递归函数代码如下（引用 Copyright Ching-Kuang Shene July / 23 / 1989 的代码）：

计算f(n,m)，即n的m划分的个数
unsigned long  GetPartitionCount(int n, int max)
{
    if (n == 1 || max == 1)
        return 1;
    else if (n < max)
        return GetPartitionCount(n, n);
    else if (n == max)
        return 1 + GetPartitionCount(n, max-1);
    else
        return GetPartitionCount(n,max-1) + GetPartitionCount(n-max, max);
}

        我们可以发现，这个命题的特征和另一个递归命题：

       “上台阶”问题（斐波那契数列）（http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2007/07/13/817188.html）

        相似，也就是说，由于树的“天然递归性”，使这类问题的解可以通过树来展现，每一个叶子节点的路径是一个解。因此把上面的函数改造一下，让所有划分装配到一个.NET类库中的TreeView控件，相关代码（c#）如下：

组装TreeView
        /// <param name="root">树的根结点</param>
        /// <param name="n">被划分的整数</param>
        /// <param name="max">一个划分中的最大数</param>
        /// <returns>返回划分数，即叶子节点数</returns>
        private int BuildPartitionTree(TreeNode root, int n, int max)
        {
            int count=0;
            if( n==1)
            {
                //{n}即1个n
                root.Nodes.Add(n.ToString());//{n}
                return 1;
            }
            else if( max==1)
            {
                //{1,1,1,,1} 即n个1
                TreeNode lastNode=root;
                for(int j=0;j<n;j++)
                {
                    lastNode.Nodes.Add("1");
                    lastNode=lastNode.LastNode;
                }
                return 1;
            }
            else if(n<max)
            {
                return BuildPartitionTree(root, n, n);
            }
            else if(n==max)
            {
                root.Nodes.Add(n.ToString()); //{n}
                count=BuildPartitionTree(root, n, max-1);
                return count+1;
            }
            else
            {
                //包含max的分割，{max, {n-max}}
                TreeNode node=new TreeNode(max.ToString());
                root.Nodes.Add(node);
                count += BuildPartitionTree(node, n-max, max);

                //不包含max的分割，即所有max-1分割
                count += BuildPartitionTree(root, n, max-1);
                return count;
            }
        }

        如果我们要输出所有解，只需要输出所有叶子节点的路径即可，可以同样用递归函数来输出所有叶子节点（代码中使用了一个StringBuilder对象来接收所有叶子节点的路径）：

获取所有叶子节点的路径
        private void PrintAllLeafPaths(TreeNode node)
        {
            //属于叶子节点?
            if(node.Nodes.Count==0)
                this.m_AllPartitions.AppendFormat("{0}\r\n", node.FullPath.Replace('\\',','));
            else
            {
                foreach(TreeNode child in node.Nodes)
                {
                    this.PrintAllLeafPaths(child);
                }
            }
        }

        这个小例子的运行效果如下（源代码都在文中，就不提供下载链接）：

        通过递归思路，我们给出了n的划分个数的算法，也把所有划分组装到一棵树中。好，关于递归思路我们就暂时介绍到这里。关于输出所有划分的标准代码在这里省略了，我们有时间再做详细分析。

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                                         （二）母函数法

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        下面我们从另一个角度即“母函数”的角度来考虑这个问题。

        所谓母函数，即为关于x的一个多项式G（x）：

        有 G（x）= a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ...

        则我们称G（x）为序列（a0，a1，a2，...）的母函数。关于母函数的思路我们不做更多分析。

        我们从整数划分考虑，假设n的某个划分中，1的出现个数记为a1，2的个数记为a2，..., i的个数记为ai，

        显然: ak<=n/k; (0<= k <=n)

        因此n的划分数f(n,n)，也就是从1到n这n个数字中抽取这样的组合，每个数字理论上可以无限重复出现，即个数随意，使他们的总和为n。显然，数字i可以有如下可能，出现0次（即不出现），1次，2次，..., k次，等等。把数字i用(x^i)表示，出现k次的数字i用 x^(i*k)表示， 不出现用1表示。例如数字2用x^2表示，2个2用x^4表示，3个2用x^6表示，k个2用x^2k表示。

         则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为：

         G(x) = (1+x+x^2+x^3+...+x^n) (1+x^2+x^4+...) (1+x^3+x^6+...) ... (1+x^n)

                 = g(x,1) g(x,2) g(x,3) ... g(x, n)

                 = a0 + a1* x + a2* x^2 + ... + an* x^n + ... ;  （展开式）

        上面的表达式中，每一个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此该多项式展开后，由于x^a * x^b=x^(a+b)，因此 x^i 就代表了i的划分，展开后(x^i)项的系数也就是i的所有划分的个数，即f(n,n)=an （上式中g（x，i）表示数字i的所有可能出现情况）。

        由此我们找到了关于整数划分的母函数G（x）；剩下的问题是，我们需要求出G（x）的展开后的所有系数。

        为此我们首先要做多项式乘法，对于我们来说并不困难。我们把一个关于x的一元多项式用一个整数数组a[]表示，a[i]代表x^i的系数，即：

        g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

        则关于多项式乘法的代码如下，其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式，结果存储到数组c：

多项式相乘，即c=a*b
#define N 130
unsigned long a[N];/*多项式a的系数数组*/
unsigned long b[N];/*多项式b的系数数组*/
unsigned long c[N];/*存储多项式a*b的结果*/

/*两个多项式进行乘法，系数分别在a和b中，结果保存到c ，项最大次数到N */
/*注意这里我们只需要计算到前N项就够了。*/
void Poly()
{
    int i,j;
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(i=0; i<N; i++)
            for(j=0; j<N-i; j++) /*y<N-i： 确保i+j不会越界*/
                  c[i+j] += a[i]*b[j];
}

       下面我们求出G（x）的展开结果，G（x）是n个多项式连乘的结果：

计算G（x）的前N项系数
/*计算出前N项系数！即g(x,1) g(x,2)... g(x,n)的展开结果*/
void Init()
{
    int i,k;
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(i=0;i<N;i++) a[i]=1; /*第一个多项式：g(x, 1) = x^0 + x^1 + x^2 + x^3 +  */
    for(k=2;k<N;k++)
    {
        memset(b,0,sizeof(b));
        for(i=0;i<N;i+=k) b[i]=1;/*第k个多项式：g(x, k) = x^0 + x^(k) + x^(2k) + x^(3k) +  */
        Poly(); /* 多项式乘法：c= a*b */
        memcpy(a,c,sizeof(c)); /*把相乘的结果从c复制到a中：c=a; */
    }
}

      通过以上的代码，我们就计算出了G（x）的展开后的结果，保存到数组c中。此时有：f(n,n)=c[n];剩下的工作只是把相应的数组元素输出即可。

      问题到了这里已经解决完毕。但我们发现，针对该问题，g(x,k)是一个比较特殊的多项式，特点是只有k的整数倍的索引位置有项，而其他位置都为0，具有项“稀疏”的特点，并且项次分布均匀（次数跨度为k）。这样我们就可以考虑在计算多项式乘法时，可以减少一些循环。因此可以对Poly函数做这样的一个改进，即把k作为参数传递给Poly：

改进后的多项式乘法
/*两个多项式进行乘法，系数分别在a和b中，结果保存到c ，项最大次数到N */
/*改进后，多项式a乘以一个有特殊规律的多项式b，即b中只含有x^(k*i)项，i=0,1,2,*/
/*如果b没有规律，只需要把k设为1，即与原来函数等效*/
void Poly2(int k) /*参数k的含义：表示b中只有b[k*i]不为0！*/
{
    int i,j;
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(i=0; i<N; i++)
            for(j=0; j<N-i; j+=k)
                  c[i+j] += a[i]*b[j];
}

      这样，原有的函数可以认为是k=1的情况（即多项式b不具有上诉规律）。相应的，在上面的Init函数中的调用改为Poly2(k)即可。   

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参考资料：

（1）关于“递归”部分的代码，参考了Ching-Kuang Shene，July/23/1989的代码；

（2）关于“母函数”部分，参考了《Acm程序设计》（刘春英）（PPT文档）；

（3）“母函数”方法的Init和Poly的代码，参考了某位教师的代码  : ymc 2008/09/25， 其中多项式乘法的改进是我提出的建议。

                             -- by hoodlum1980  2008-10-11