需求背景

Suppose that students would get y points in final exam, if they spent x hours in paper PyTorch Tutorial.

The question is what would be the grade if I study 4 hours?

有一组数据，关系如下表所示。记录了班级同学课程学习时间x和取得分数y的关系，（即：某学生学习了X小时即可取得Y分数），题设是：若某学生学习了4小时，可以取得分数为多少分？

【分析】这道题数据比较简单，我们通过人工推理即可完成。我们可以一眼看出，x和y有如下关系：y=2x。所以，当x=4时，y的值为8。

但是但是但是！实际中，可能数据不会这么显而易见的被观察出y和x的关系，那该如何求解呢？

分析思路

【思路1：如何建模？】

1.先假设y和x存在某种关系（可以是线性的，如：y=kx+b，也可以是非线性的，如：y=ax²+bx+c），再把已知的三组数据带入求得预测的y值(y_pred)，计算真实值y和预测值(y_pred)误差，误差最小的，说明假设的正确性越高。

2.通常假设y和x存在某种关系时，一定先从简单地线性模型下手，若线性模型解决不了再使用非线性模型。（先易后难）

【概念梳理】

①真实值y：上述例子中，y=2是x=1时的真实值；y=4是x=2时的真实值；y=6是x=3时的真实值。

②预测值y_pred：我们会假设y和x存在某种关系，如y=wx。那把x=1，x=2，x=3带入公式后，会求得相应的y(x=1)的值，y(x=2)的值，y(x=3)的值，此时y的值即预测值，用y_pred表示。

【思路2：如何确定模型是否正确？】

1.根据三组数据得到的真实值曲线如图中红线所示。

2.我们假设y=wx（y和x存在线性关系），且先假设一个w的值，画出相应的图像（如蓝线所示），根据y_pred(x=i)和y(x=i)的差值来判断，我们假设的关系是否是正确的。定义loss=y_pred-y表示两点之间的距离。loss越小，说明预测值跟真实值越接近。（当loss0时，即y_pred-y=0时，预测值曲线和真实值曲线重合，可以理解为“完美预测”）

3.因为图像，y_pred可能在y的上方（y_pred>y），也可能在y的下方（y_pred<y）。所以我们用平方定义loss = (y_pred-y)²（用平方定义的好处是不需要去考虑正负号的问题）

4.我们在3的基础上，对loss进行进一步调整。因为对于每个w，我们把x=1，y=2；x=2，y=4；x=3、y=6这三组数据带入之后，会得到3个loss的值。我们对3个loss求均值作为cost损失。由此，每个w会对应唯一一个值，cost最终的形态为：

【概念梳理】

1.loss，称作损失，即为数学中的“误差”。loss越小，说明预测值和真实值越接近；loss越大，说明预测值偏离了真实值。

2.我们对loss取均值得到cost的方法，称之为MSE（均方误差/均方损失）。常用于衡量线性模型计算预测值和真实值之间的误差。

3.cost和loss区别：loss是单次损失；cost是对loss求均值之后得到的损失。

【思路3：如何预测w】

我们预测y和x之间存在线性关系，假设y=wx。确定了y和x采用的模型之后，需要对w的值进行预测，到底w取何值呢？该如何预测呢？

本实验中采用了最简单的预测方式：穷举。

把w在[1.0,4.0]之间的值依次取出进行预测，画出损失cost和w的图像，判断w取何值时，cost最小。

代码实践

1.准备数据集

根据题意，准备数据集

x_data = [1.0, 2.0, 3.0]
y_data = [2.0, 4.0, 6.0]

2.定义模型

使用最最最简单的线性模型y=wx来定义

def forward(x):
    return x * w

3.定义损失函数

loss=(y_pred-y)²

def loss(x, y):
    y_pred = forward(x)
    return (y_pred - y) * (y_pred - y)

4.训练模型（附整套代码）

import numpy as np  #numpy用于计算
import matplotlib.pyplot as plt  # matplotlib是绘制图像的包
# 定义训练集
x_data = [1.0, 2.0, 3.0]
y_data = [2.0, 4.0, 6.0]
# 定义模型
def forward(x):
    return x * w
# 定义损失函数,用MSE
def loss(x, y):
    y_pred = forward(x)
    return (y_pred - y) * (y_pred - y)
w_list = []  # 保存权重w
mse_list = []  # 保存每个w的损失值loss
for w in np.arange(0.0, 4.1, 0.1):  # 从0.0~4.1，设置步长为0.1，枚举w的值。即0.0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5……4.0
    # print('w=', w)
    l_sum = 0  # 计算每个w的loss损失总值（假设w=1，l_sum即为w=1时，x=1，x=2，x=3计算得到的损失总值）
    for x_val, y_val in zip(x_data, y_data):
        y_pred_val = forward(x_val)  # 对每个x_val计算对应y预测值
        loss_val = loss(x_val, y_val)
        l_sum += loss_val
        # print('\t', x_val, y_val, y_pred_val, loss_val)
    # print('MSE=', l_sum/3)
    w_list.append(w)
    mse_list.append(l_sum/3)  # 三组[x,y]数据，需要除以3
# 绘制w和LOSS图像
plt.plot(w_list, mse_list)
plt.ylabel('LOSS')
plt.xlabel('w')
plt.show()

5.展示绘制的图像（w-loss）

6.预测

通过1-5步骤，根据图像我们可知：当w=2.0时，cost损失取最小值。说明当w=2.0时，预测值和真实值最接近，误差最小。

因为我们定义的线性模型为y=wx，所以根据上述训练我们得到w=2，所以y和x的关系为：y=2x。

当x=4时，y=8，完成题目的预测。即：当某同学学习4小时，预测得到的分数为8分。