【算法基础】归并排序解析

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简介: 归并排序是建立在归并操作上的一种有效,稳定的排序算法,它是采用分治法的一个非常典型的应用。将待排序数组分为两条线逐级拆分,将子序列进行排序,然后沿两条线逐级合并,得到完全有序序列。这种通过递归,层层合并的方法,称为归并。
​作者:[柒号华仔]

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1. 归并排序介绍

1.1 定义

谈到归并我们需要先认识“分治”,顾名思义,分治即分而治之,一个问题很复杂,那么我们把问题拆分为简单点的小问题,将小问题继续拆分,最后所需面对的都是最小问题。将这些最小问题解决掉,一步步合并为大问题,最后实现整个问题的解决。

归并排序是建立在归并操作上的一种有效,稳定的排序算法,它是采用分治法的一个非常典型的应用。将待排序数组分为两条线逐级拆分,将子序列进行排序,然后沿两条线逐级合并,得到完全有序序列。这种通过递归,层层合并的方法,称为归并。

1.2 基本原理

归并操作的工作原理如下:

  1. 将数组拆分两个等分数组,然后逐级往下进行等分拆分,直至成为长度为1的最小元素;
  2. 数组元素两两进行排序,这些两两排序的元素归并为新的子数组;这里两个归并起点有两个点,一个是初始数组首元素,一个是等分初始数组中间元素。
  3. 前后两个子数组进行排序合并,形成更大的子数组;
  4. 依次向上排序和合并,直至两条线均合并为一个有序数组;
  5. 将两个支线数组进行合并,得到最终的有序数组。

1.3 时间复杂度

假设数组元素个数为n,时间复杂度为T(n),
将 n 个数的序列,分为两个 n/2 的序列,则:T(n) = 2T(n/2) + n
将 n/2 个数的序列,分为四个 n/4 的序列,则:T(n) = 4T(n/4) + 2n
将 n/4 个数的序列,分为八个 n/8 的序列,则:T(n) = 8T(n/8) + 3n

将 n/2k 个数的序列,分为2k个 n/2k 的序列,则:T(n) = 2kT(n/2k) + kn

当 T(n/2k) = T(1)时, 即n/2k = 1,转换为以2为底n的对数:k = log2n,把k带入到T(n)中,得:T(n) = n + nlog2n。

因此归并排序的时间复杂度就是O(nlogn)。

2. 代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

void Merge(int* arr, int left, int right, int mid)
{
    int *p = (int*)malloc((right - left + 1) * sizeof(int));
    int *temp = p;
    int L = left;
    int R = mid + 1;
        memset(p, 0, (right - left + 1) * sizeof(int));
        
    while((L <= mid)&&(R <= right))
    {
        *p++ = arr[L] < arr[R]?arr[L++] : arr[R++];
    }
    while (L <= mid)
    {
        *p++ = arr[L++];
    }
    while (R <= right)
    {
        *p++ = arr[R++];
    }
 
    memcpy(arr + left, temp, (right - left + 1) * sizeof(int));
 
    free(temp);
}
 
void MergeSort(int* arr, int left, int right)
{
    if (left >= right)
        return;
    int mid = (left + right)/2;
 
    MergeSort(arr, left, mid);            
    MergeSort(arr, mid + 1, right);        
    Merge(arr, left, right, mid);    
}
 
int main()
{
    int arr[10] = { 3,6,9,2,1,4,8,7,5,10};
    MergeSort(arr, 0, 9);
 
    for (int i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); i++)
    {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
 
    return 0;
}

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