前言
如果你在使用 Matlab 来处理一些数学问题，希望这篇博客可以帮到你。你可以根据所需要的内容查看对应的标题的内容，可以知道在 Matlab 中使用什么函数来解决问题。
1. 优化问题
1.1. 线性规划函数：linprog()
1.1.1. 线性规划的标准形式
线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
Matlab 中规定线性规划的标准形式为
$$ \min_x c^Tx \\ s.t. \begin{cases} Ax \leq b \\ Aeq \cdot x = beq \\ lb \leq x \leq ub \\ \end{cases} $$
第一个式子为目标函数，$s.t.$ 式是约束条件。其中 $c$ 和 $x$ 为 $n$ 维列向量，$A$、$Aeq$ 为适当维数的矩阵，$b$、$beq$ 为适当维数的列向量。
1.1.2. linprog() 的使用
在 matlab 中，线性规划的函数为 linprog() ，它有两种常用形式：X = linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0) 和 [X, FVAL] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0)
返回的值 X 是向量 $x$ 的值，FVAL 是目标函数的值，LB 和 UB 分别是变量 $x$ 的下界和上界，$x_0$ 是 $x$ 的初始值。
1.1.3. 应用例子
例子 1.
求下列线性规划问题：
$$ \max z = 2x_1+3x_2-5x_3 \\ s.t. \begin{cases} x_1+x_2+x_3=7 \\ 2x_1-5x_2+x_3 \ge 10 \\ x_1+3x_2+x_3 \leq 12 \\ x_1,x_2,x_3 \ge 0 \\ \end{cases} $$
依据 Matlab 的标准，默认求解是求最小值，而本例是求的最大值，把 $z$ 的系数变为相反数，即 $-1$ 就好了，同理 下面的大于等于号 $\ge$ 也做同样处理，就是把 $10 \to -10$，然后没有上界 UB，下界 LB 为三个变量都为 $0$ ，也就是一个全零的矩阵 zeros(3, 1)
编写一个 .m 文件：
c = [2; 3; -5];
a = [-2, 5, -1; 1, 3, 1];
b = [-10; 12];
aeq = [1, 1, 1];
beq = 7;
x = linprog(-c, a, b, aeq, beq, zeros(3, 1))
value = c'*x执行后输出最优解和目标函数在最优解的取值：
x =
6.4286
0.5714
0.0000
value =
14.5714
1.2. 非线性规划函数：fmincon()
1.2.1. 非线性规划的标准形式
如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。
线性规划与非线性规划的区别：
线性规划的最优解只能在其可行域的边界上达到；而非线性规划的最优解则可能在可行域的任意一点达到。
1.2.2. fmincon() 的使用
Matlab 中非线性规划的数学模型的形式为：
$$ \min f(x) \\ s.t. \begin{cases} Ax \leq B \\ Aeq \cdot x = Beq \\ C(x) \leq 0 \\ Ceq(x) = 0 \end{cases} $$
$f(x)$ 是标量函数，$A$, $B$, $Aeq$, $Beq$ 是相应位数的矩阵和向量，$C(x)$, $Ceq(x)$ 是非线性向量函数。
Matlab 中的函数是：X = fmincon(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)
它的返回值是向量 $x$，其中 FUN 是用 M 文件定义的函数 $f(x)$ ；X0 是 $x$ 的初始值； A, B, Aeq, Beq 定义了线性约束 $A * X \leq B$, $Aeq * X = Beq$，如果没有线性约束，则 A=[], B=[], Aeq=[], Beq=[]；LB 和 UB 是变量 $x$ 的下界和上界，如果上界和下界没有约 束，则 LB=[]，UB=[]，如果 $x$ 无下界，则 LB 的各分量都为 -inf，如果 $x$无上界，则 UB 的各分量都为 inf；NONLCON 是用 M 文件定义的非线性向量函数 $C(x)$, $Ceq(x)$；OPTIONS 定义了优化参数，可以使用 Matlab 缺省的参数设置。
1.2.3. 应用例子
例子 1.
求下列非线性规划：
$$ \min f(x)=x^2_1+x_2^2+x_3^2+8 \\ \begin{matrix} s.t. & x_1^2-x_2+x_3^2 \ge 0 \\ & x_1+x_2^2+x_3^3 \leq 20 \\ & -x_1-x_2^2+2=0 \\ & x_2+2x_3^2=3 \\ & x_1, x_2, x_3 \ge 0 \\ \end{matrix} $$
编写 M 文件 fun1.m, fun2.m, example2.m，内容分别为下：
%% content of fun1.m
function f=fun1(x);
f=sum(x.^2)+8;
%% content of fun2.m
function [g,h]=fun2(x);
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2 x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束
%% content of exemple.m
options=optimset('largescale','off');
[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun2', options)运行的结果：
x =
0.5522
1.2033
0.9478
y =
10.6511
1.3. 整数规划：intlinprog()
1.3.1. 整数规划的标准形式
规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中， 变量限制为整数，则称为整数线性规划。如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
整数规划在 Matlab 上的标准形式是：
$$ \min_x \, c^Tx \\ s.t. \begin{cases} Ax \leq b \\ Aeq \cdot x = beq \\ lb \leq x \leq ub \\ \end{cases} $$
与之前的线性规划一样，不同的是这里我们的 $x$ 是取整数的。
1.3.2. intlinprog() 的使用
由于《数学建模算法与程序》这本书写得算是比较早，那个时候 Matlab 对于整数规划还没有函数，而唯一一个出现的 bintprog() 函数在如今的 Matlab 上也移除了，用了一个新的函数 intlinprog() 代替，也就是说，我们现在可以在 Matlab 上处理整数规划问题了。
先看看 intlinprog() 的用法解释：
X = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 与上面一样，但是第二个参数 intcon 是指定要限定哪一个 $x$ 为整数，如果想要限定 $x_2$ 和 $x_{10}$ 为整数，那就是 [2,10]。
1.3.3. 应用例子
这里我们使用 intlinprog() 解决书上的第一个整数规划（书上使用的是分支定界法，还是挺复杂的）：
例子 1.
求解下述整数规划：
$$ \mathrm{Max} \, z=10x_1+90x_2 \\ \begin{cases} 9x_1+7x_2 \leq 56 \\ 7x_1+20x_2 \leq 70 \\ x_1, x_2 \ge 0 \, (x_1,x_2 \in \boldsymbol{Z}) \end{cases} $$
编写程序：
c=[40;90];
A=[9 7;7 20];
b=[56 70];
Aeq=[];
beq=[];
LB=[0;0];
UB=[inf;inf]
X=intlinprog(-c,[1,2],A,b,Aeq,beq,LB,UB)
value=f'*X运行，解得：
X =
4.0000
2.0000
value =
340