1. 复数: $$\beex \bea \bbC&=\sed{z=x+iy;x,y\in\bbR},\\ z&=x+iy\quad(\mbox{代数形式})\\ &=(x,y)\quad(\mbox{实数对形式}\\ &=re^{i\tt}\quad(\mbox{指数形式}), \eea \eeex$$ 其中 $$\beex \bea x&\equiv\Re z\quad(\mbox{称为实部}),\\ y&\equiv\Im z\quad(\mbox{称为虚部}),\\ r&=\sqrt{x^2+y^2}\equiv |z|\quad(\mbox{称为模}),\\ \tt&=\Arg z\quad(\mbox{称为辐角})\\ &=\arg z+2k\pi\quad(-\pi<\arg z\leq\pi\mbox{称为主辐角}). \eea \eeex$$
2. 四则运算: 设 $$\beex \bea z_1&=x_1+iy_1=(x_1,y_1)=r_1e^{i\tt_1},\\ z_2&=x_2+iy_2=(x_2,y_2)=r_2e^{i\tt_2}, \eea \eeex$$ 则 $$\beex \bea z_1\pm z_2&=(x_1\pm x_2)+i(y_1\pm y_2)\quad(\mbox{对应着向量的加减}),\\ z_1\cdot z_2&=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)\\ &=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\\ &=r_1r_2e^{i(\tt_1+\tt_2)}\\ &\quad\sex{\ra \sedd{\ba{ll}|z_1z_2|=|z_1|\cdot |z_2|\\ \Arg(z_1z_2)=\Arg z_1+\Arg z_2\\ ze^{i\tt}\mbox{ 相当于 }z\mbox{ 旋转了 }\tt\mbox{ 角}\ea}}\\ \frac{z_1}{z_2} &=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\\ &=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}\quad\sex{\mbox{乘以分母的共轭, 称为分母实化}}\\ &=\frac{x_1x_2+y_1y_2+i(-x_1y_2+x_2y_1)}{x_2^2+y_2^2}\\ &=\frac{r_1e^{i\tt_1}}{r_2e^{i\tt_2}}\\ &=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\tt_1-\tt_2)}\\ &\quad\sex{\ra\sedd{\ba{ll} \sev{\cfrac{z_1}{z_2}}=\cfrac{|z_1|}{|z_2|}\\ \Arg \cfrac{z_1}{z_2}=\Arg z_1-\Arg z_2 \ea}}. \eea \eeex$$ 在这里, 我们引进了共轭复数这一概念: $$\bex z=x+iy=re^{i\tt}\ra \bar z=x-iy=re^{-i\tt}. \eex$$ 总结: 在作复数加减运算时, 采用代数形式; 在作复数乘除运算时, 采用指数形式.
3. 乘幂与方根
(1) 乘幂 $$\beex \bea z=re^{i\tt}\ra z^n=r^ne^{in\tt}\ra \sedd{\ba{ll} |z^n|=|z|^n,\\ \Arg z^n=n\cdot\Arg z. \ea} \eea \eeex$$
应用:
a. 当 $r=1$ 时, $$\beex \bea (\cos\tt+i\sin\tt)^n=(e^{i\tt})^n=e^{in\tt}=\cos n\tt+i\sin n\tt, \eea \eeex$$ 此为 De Moivre 公式, 用它可以把 $\cos n\tt,\sin n\tt$ 用 $\cos\tt,\sin \tt$ 表示出来.
b. 在计算乘幂时应采用指数形式.
(2) 方根 设 $\sqrt[n]{z}=w$, 而 $$\bex z=re^{i\tt},\quad w=\rho e^{i\phi}, \eex$$ 则 $$\beex \bea &\quad re^{i\tt}=z=w^n=\rho^ne^{in\phi}\\ &\ra \rho=\sqrt{n},\quad n\phi=\tt+2k\pi\ (k\in\bbZ)\\ &\ra \sqrt{z}=w=\rho e^{i\phi} =\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\tt+2k\pi}{n}}\quad (k=0,1,2,\cdots,n-1)\\ &=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\tt}{n}}\cdot e^{i\frac{2k\pi}{n}}\quad(k=0,1,2,\cdots,n), \eea \eeex$$ 这 $n$ 个方根依次联结起来成为正 $n$ 变形的顶点.
例: 求 $\sqrt[3]{-27}$. $$\bex \sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{27e^{i\pi}} =3e^{i\frac{\pi+2k\pi}{3}},\quad (k=0,1,2). \eex$$
作业: 第一章习题 T 2, T 3.
