1 记号 (notations)
(1) 广义实数: $\overline{\bbR}=\bbR\cup\sed{-\infty}\cup\sed{+\infty}$.
(2) 本章主要考虑 $$\bex f:E\to \overline{\bbR}, \eex$$
其中 $E$ 是可测集, 而把 $$\bex f:E\to \bbR \eex$$
称为有限函数.
注意: 有限函数、有界函数的区别.
(3) $$\bex E[f>c]=\sed{x\in E;f(x)>a}\quad\sex{x\mbox{ 是哑巴}}. \eex$$
2 可测函数的定义: $$\bex f:E\to \overline{\bbR}\mbox{ 可测}\lra \forall\ c\in\bbR, E[f>c]\mbox{ 可测}. \eex$$
(1) 例 1: $\dps{D(x)}$ 可测: $$\bex \overline{\bbR}[D>c]=\sedd{\ba{ll} \vno,&c\geq 1,\\ \bbQ,&0\leq c<1,\\ \bbR,&c<0. \ea}. \eex$$
(2) 例 2: $E=(a,b)$ 上的连续函数、单调函数可测: $$\bex f\mbox{ 连续}\ra E[f>c] \mbox{ 是开集}; \eex$$ $$\bex f\mbox{ 单增}\ra E[f>c] \mbox{ 是区间}. \eex$$
注: 区间 $I$ 的意思是: $a,b\in I, a<b\ra [a,b]\in I$.
3 可测函数的等价定义: $$\bex f\mbox{ 可测}\lra \sedd{\ba{ll} (1)&\forall\ c, E[f\geq c]\mbox{ 可测},\\ (2)&\forall\ c, E[f<c] \mbox{ 可测},\\ (3)&\forall\ c, E[f\leq c\mbox{ 可测},\\ (4)&\forall\ -\infty<a<b<+\infty, E[a\leq f<b]\mbox{ 可测},\\ &(\ra\mbox{ 需要 }f \mbox{ 是有限函数}). \ea} \eex$$
证明: $$\bex E[f\geq c]=\cap_{i=1}^\infty E\sez{f\geq c-\frac{1}{i}}, \eex$$ $$\bex E[f>c]=\cup_{i=1}^\infty E\sez{f\geq c+\frac{1}{i}}, \eex$$ $$\bex E[a\leq f<b]=E[f\geq a]-E[f\geq b], \eex$$ $$\bex f\mbox{ 有限}\ra E[f\geq a]=\cup_{i=1}^\infty E[a\leq f<a+i]. \eex$$
(1) 推论: $E[f=c]$ 可测.
证明: $$\bex c\in\bbR\ra E[f=c]=E[f\geq c]-E[f>c], \eex$$ $$\bex c=+\infty\ra E[f=c]=\cap_{i=1}^\infty E[f>i], \eex$$ $$\bex c=-\infty\ra E[f=c]=\cap_{i=1}^\infty E[f<-i]. \eex$$
4 重要的可测函数类 I---连续函数类
(1) $f: E\to \overline{\bbR}$ 在点 $x_0\in E$ 处连续, 如果 $f(x_0)\in\bbR$, 且 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\st x\in E\cap B(x_0,\delta)\ra |f(x)-f(x_0)|<\ve. \eex$$
注: $f$ 在 $E$ 的孤立点上连续.
(2) 设 $f:E\to\overline{\bbR}$ 连续, 则 $f$ 可测.
证明: 由 $$\bex x\in E[f>c]&\ra f(x)>c \ra \exists\ \delta_x>0,\st E\cap B(x,\delta_x)\subset E[f>c] \eex$$
知 $$\bex E[f>c]=\cup_{x\in E[f>c]}\sez{E\cap B(x,\delta_x)} =\sez{\cup_{x\in E[f>c]}B(x,\delta_x)}\cap E. \eex$$
5 重要的可测函数类 II---简单函数类
(1) 设 $f$ 在 $E$ 上可测, $\tilde E(\subset E)$ 可测, 则 $f$ 在 $\tilde E$ 上的限制 $f:\tilde E\to\overline{\bbR}$ 也
可测: $$\bex \tilde E[f>c]=\tilde E\cap E[f>c]. \eex$$
(2) $f$ 在 $\sed{E_i}_{i=1}^j$ 上可测 $\ra f$ 在 $\dps{E=\cup_{i=1}^j}$ 上可测: $$\bex E[f>c]=\cup_{i=1}^j E_i[f>c]. \eex$$
(3) 简单函数: 设 $\sed{E_i}_{i=1}^j$ 两两不交, 可测, $$\bex f:E=\cup_{i=1}^j E_i\to \overline{\bbR} \eex$$
使得 $f(x)=c_i, x\in E_i$, 则称 $f$ 为简单函数, 记作 $$\bex f(x)=\sum_{i=1}^j c_i\chi_{E_i}(x),\quad x\in E. \eex$$
(4) 例: $D(x)$ 是 $\bbR$ 上的简单函数.
(5) 简单函数可测.
6 可测函数的四则运算
(1) $f,g$ 可测 $\dps{\ra -f,f\pm g, |f|,\frac{1}{f}, f^2,f\cdot g}$ 可测.
证明: $$\beex \bea E[-f>c]&=E[f<-c];\\ E[f+g>c]&=E[f>c-g]\\ &=\cup_{r\in\bbQ}\sex{E[f>r]\cap E[r>c-g]}\\ &=\cup_{r\in\bbQ}\sex{E[f>r]\cap E[g>c-r]};\\ f-g&=f+(-g);\\ E\sez{\frac{1}{f}>c} &=\sedd{\ba{ll} E[f>0]\cap E\sez{f<\frac{1}{c}},&c>0\\ E[f>0]\bs E[f=+\infty],&c=0\\ E[f>0]\cup E\sez{f<\frac{1}{c}},&c<0 \ea};\\ E[f^2>c]&=\sedd{\ba{ll} E[f>\sqrt{c}]\cup E[f<-\sqrt{c}],&c\geq 0\\ E,&c<0 \ea};\\ f\cdot g&=\frac{1}{4}[(f+g)^2-(f-g)^2]. \eea \eeex$$
(2) 推论: $$\bex f\mbox{ 可测}\lra \mbox{正部 }f^+=\max\sed{f,0},\mbox{ 负部 }f^-=-\min\sed{f,0}, \mbox{ 可测}. \eex$$
证明: $\ra$ $$\bex f^+=\frac{|f|+f}{2},\quad f^-=\frac{|f|-f}{2}. \eex$$
$\la$ $f=f^+-f^-$.
7 可测函数的极限运算:
(1) $$\bex f_i\mbox{ 可测}\ra m(x)=\inf_{i\geq 1}f_i(x),\ M(x)=\sup_{i\geq 1}f_i(x)\mbox{ 可测}: \eex$$ $$\beex \bea E[m\geq c]&=\cap_{i=1}^\infty E[f_i\geq c];\\ E[M\leq c]&=\cap_{i=1}^\infty E[f_i\leq c]. \eea \eeex$$
(2) $$\bex f_i\mbox{ 可测}\ra \varliminf_{i\to\infty}f_i,\ \varlimsup_{i\to\infty}f_i\mbox{ 可测}: \eex$$ $$\bex \varliminf_{i\to\infty}f_i =\sup_{i\geq 1}\inf_{j\geq i}f_j,\quad \varlimsup_{i\to\infty}f_i =\inf_{i\geq 1}\sup_{j\geq i}f_j. \eex$$
8 可测函数与简单函数的关系:
(1) $$\bex f\mbox{ 非负可测}\ra \exists\mbox{ 简单函数列 }\sed{\phi_k},\st \phi_k\nearrow f. \eex$$
证明: 取 $$\beex \bea E_{k,j}&=E\sez{\frac{j-1}{2^k}\leq f<\frac{j}{2^k}},\quad j=1,2,\cdots,k2^k;\\ E_k&=E[f\geq k],\quad k=1,2,\cdots. \eea \eeex$$
后, 作 $$\bex \phi_k(x)=\sedd{\ba{ll} \frac{j-1}{2^k},&x\in E_{k,j},\\ k,&x\in E_k. \ea}. \eex$$
则 $\phi_k$ 为简单函数, 且 $$\bex \phi_k\leq \phi_{k+1}\leq f: \eex$$ $$\beex \bea x\in E_{k,j}&\ra \frac{j-1}{2^k}\leq f(x)<\frac{j}{2^k}\\ &\ra \frac{2j-2}{2^{k+1}}\leq f(x)<\frac{2j}{2^{k+1}}\\ &\ra \frac{2j-2}{2^{k+1}}\leq f(x)<\frac{2j-1}{2^{k+1}}\mbox{ 或 } \frac{2j-1}{2^{k+1}}\leq f(x)<\frac{2j}{2^{k+1}}\\ &\ra \phi_{k+1}(x)=\frac{2j-2}{2^{k+1}}\mbox{ 或 }\frac{2j-1}{2^{k+1}}\geq \frac{j-1}{2^k}=\phi_k(x),\\ x\in E_k&\ra f(x)\geq k\\ &\ra f(x)\geq k+1\mbox{ 或 }\frac{j-1}{2^{k+1}}\leq f(x)<\frac{j}{2^{k+1}}\\ &\quad\sex{j=(k+1)2^{k+1},\cdots,k2^{k+1}+1}\\ &\ra \phi_{k+1}(x)=k+1\mbox{ 或 } \frac{j-1}{2^{k+1}}\geq k=\phi_k(x). \eea \eeex$$
往证 $\phi_k\to f$:
若 $f(x)=+\infty$, 则 $\phi_k(x)=k$;
若 $f(x)<+\infty$, 则当 $k>f(x)$ 时, $$\bex 0\leq f(x)-\phi_k(x)<\frac{1}{2^k}. \eex$$
(2) $$\bex f\mbox{ 可测}\ra \exists\ \mbox{ 简单函数列 }\phi_k,\st \phi_k\to f. \eex$$
证明: $$\bex \ba{ccccc} f&=&f^+&-&f^-\\ \uparrow&&\uparrow&&\uparrow\\ \phi_k&=&\phi_{1k}&-&\phi_{2k} \ea. \eex$$
(3) $$\bex f\mbox{ 有界可测}\ra \exists\mbox{ 简单函数列 }\sed{\phi_k},\st \phi_k\rightrightarrows f. \eex$$
证明: 设 $|f|\leq M$, 则当 $k>M$ 时, $$\bex |f^+-\phi_{1k}|<\frac{1}{2^k},\quad |f^--\phi_{2k}|<\frac{1}{2^k}, \eex$$
而 $$\bex |f-\phi_k|<\frac{1}{2^{k-1}}. \eex$$
(4) 总结: $$\bex \mbox{ 非负可测}\ra\mbox{单调逼近};\quad\mbox{可测}\ra \mbox{点点逼近};\quad \mbox{有界可测}\ra \mbox{一致逼近}. \eex$$
9 一个定义: 设 $E$ 是集合, $\pi$ 是命题, 若 $$\bex \exists\ Z\subset E,\ mZ=0,\st \pi\mbox{ 在 }E\bs Z\mbox{ 上成立}, \eex$$
则称 $\pi$ 在 $E$ 上几乎处处成立, 记作 $\pi\ \ae$ 于 $E$ (almost everywhere).
(1) 例 1: $|\tan x|<\infty$ $\ae$ 于 $\bbR$.
(2) 例 2: $D(x)=0$, $\ae$ 于 $\bbR$.
(3) $$\bex \left.\ba{ll} \pi_1,\ae\mbox{ 于 }E\\ \pi_2,\ae\mbox{ 于 }E \ea\right\}\ra \pi_1\cap \pi_2,\ae\mbox{ 于 }E. \eex$$
(4) 例: 若 $f=g$, $\ae$ 于 $E$; $g=h$, $\ae$ 于 $E$, 则 $f=h$, $\ae$ 于 $E$.
10 作业: Page 94, T 2.
