具体数学-第6课（下降阶乘幂二）

例2

计算

首先计算

这里注意要令

不能倒过来哦，因为 的不定和很难求出来的。所以

所以

无限求和

回顾一下以前我们是怎么计算下面求和式的。

首先两边同时乘2，得到：

解出

那么可不可以用同样的方法计算下面式子呢？

两边同时乘2，得到：

解出

显然不可能，因为这里的 是发散的，所以不能这么求。那么如何用一般的方法来求解呢？S

首先我们只考虑正数求和，求解 ，其中 是一个无限集合。

那么，如果存在 ，使得对任意 ，都有

那么我们说这个最小的 A 就是 的结果。

如果不存在这么一个 A ，那么这个求和式就是发散的，即结果为正无穷。

一般使用中，对于 ，我们可以令

所以

举两个例子，比如

再如：

剩下的问题就是如何求有正有负的和式？

可以考虑的方案就是用不同的配对，将正负组合在一起，从而相消求和。

但是不同的组合方式会得到不同的答案。就比如：

有两种组合方式：

得到了两种不同的结果。

事实上，我们可以将正数和负数分开求和，因为正数求和我们已经解决了，所以我们定义：

其中

所以求和式可以分成两部分分别求和：

最后推广到二重求和：

这里也没啥好细说的，就先了解了解吧。