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极限运算法则——“高等数学”

2023-04-23 140
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简介： 极限运算法则——“高等数学”

各位CSDN的uu们你们好啊，今天，小雅兰学习的内容是极限运算法则


回顾


无穷小的极限运算法则


  定理1：两个无穷小的和是无穷小


  定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小


极限的四则运算法则


  定理3


  定理4


  定理5：极限的保序性


例题


  1.多项式（有理整函数）的极限


  2.有理分式函数的极限


复合函数的极限运算法则


极限运算法则小结


先回顾一下之前已经学过的知识——函数的极限

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光靠函数的极限解题肯定是不够，存在着一定的局限性，所以我们就引出了一系列知识点

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我们会学习到四则运算法则和复合函数极限运算法则

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从左向右依次为：双极限问题、右极限问题、左极限问题

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上次课我们学到了无穷大与无穷小，了解到了无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程下，如果f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小，反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)不等于0，则1/f(x) 为无穷大


我们的回顾就到这里结束啦，下面我们进入正题


一、无穷小的极限运算法则


定理1：两个无穷小的和是无穷小

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这就是我们定理1的证明过程了，下面，我们趁热打铁，来看几道例题

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 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

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我们来看一下证明过程

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这就是我们的定理2的证明过程了，下面，我们还有几个推论

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将推论2推广，可以得知：有限个无穷小的乘积也是无穷小

然后，我们再来看几个例题

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sin x是有界函数，1/x是无穷小，这个例题完全诠释出了有界函数与无穷小的乘积是无穷小 

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有的人会这样写

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这样的写法是不严谨的，因为当x趋向于无穷时，sin x的极限不存在

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看此例题，|cos 1/x |<=1,所以cos 1/x是一个有界函数，这又是一个有界函数与无穷小的乘积的问题

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再看一个例题

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经过上述学习，大家已经知道了两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么肯定有人想：两个无穷小的商是无穷小吗？

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这个答案是否定的，相信大家可以看出，两个无穷小的商的极限的情况是非常复杂的


认真学习的小雅兰.
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