[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 无穷多个无穷小量相乘还是无穷小量么?)

无穷多个无穷小量相乘还是无穷小量么?

 

解答: 不一定. 比如

$$\bex \ba{ll} \mbox{第 1 个:}&1,\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{4},\cdots;\\ \mbox{第 2 个:}&1,2,\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{4},\cdots;\\ \mbox{第 3 个:}&1,1,3^2,\cfrac{1}{4},\cdots;\\ \mbox{第 4 个:}&1,1,1,4^3,\cdots;\\ \ea \eex$$ 等等, 一般的, 第 $k$ 个无穷小量为 $$\bex \underbrace{1,\cdots,1}_{k-1\mbox{ 个}},k^{k-1},\frac{1}{k+1},\frac{1}{k+2},\cdots. \eex$$ 虽然每一个都是无穷小量, 但它们的乘积却是 $1,1,\cdots,1,\cdots$, 不是无穷小量.