题目描述
这是 LeetCode 上的 1104. 二叉树寻路 ，难度为中等。
Tag : 「二叉树」、「模拟」、「数学」
在一棵无限的二叉树上，每个节点都有两个子节点，树中的节点 逐行 依次按 “之” 字形进行标记。
如下图所示，在奇数行（即，第一行、第三行、第五行……）中，按从左到右的顺序进行标记；
而偶数行（即，第二行、第四行、第六行……）中，按从右到左的顺序进行标记。
给你树上某一个节点的标号 label，请你返回从根节点到该标号为 label 节点的路径，该路径是由途经的节点标号所组成的。
示例 1：
输入：label = 14 输出：[1,3,4,14] 复制代码
示例 2：
输入：label = 26 输出：[1,2,6,10,26] 复制代码
提示：
- 1 <= label <= 10^6106
模拟
一个朴素的做法是根据题意进行模拟。
利用从根节点到任意一层都是满二叉树，我们可以先确定 label 所在的层级 level，然后计算出当前层起始节点值（最小值）和结束节点值（最大值）。
再利用「每层节点数量翻倍」&「隔层奇偶性翻转」，寻址出上一层的节点下标（令每层下标均「从左往右」计算，并从 11 开始），直到构造出答案（寻址到根节点）。
Java 代码：
class Solution { // 第 level 层的起始节点值 int getStart(int level) { return (int)Math.pow(2, level - 1); } // 第 level 层的结束节点值 int getEnd(int level) { int a = getStart(level); return a + a - 1; } public List<Integer> pathInZigZagTree(int n) { // 计算 n 所在层级 int level = 1; while (getEnd(level) < n) level++; int[] ans = new int[level]; int idx = level - 1, cur = n; while (idx >= 0) { ans[idx--] = cur; int tot = (int)Math.pow(2, level - 1); int start = getStart(level), end = getEnd(level); if (level % 2 == 0) { // 当前层为偶数层，则当前层节点「从右往左」数值递增，相应计算上一层下标也应该「从右往左」 int j = tot / 2; for (int i = start; i <= end; i += 2, j--) { if (i == cur || (i + 1) == cur) break; } int prevStart = getStart(level - 1); while (j-- > 1) prevStart++; cur = prevStart; } else { // 当前层为奇数层，则当前层节点「从左往右」数值递增，相应计算上一层下标也应该「从左往右」 int j = 1; for (int i = start; i <= end; i += 2, j++) { if (i == cur || (i + 1) == cur) break; } int prevEnd = getEnd(level - 1); while (j-- > 1) prevEnd--; cur = prevEnd; } level--; } List<Integer> list = new ArrayList<>(); for (int i : ans) list.add(i); return list; } } 复制代码
Python 3 代码：
class Solution: def pathInZigZagTree(self, n: int) -> List[int]: # 第 level 层的起始节点值 def getStart(level): return 2 ** (level-1) # 第 level 层的结束节点值 def getEnd(level): return 2**level - 1 # 计算 n 所在层级 level = 1 while getEnd(level) < n: level += 1 ans = [0] * level idx, cur = level - 1, n while idx >= 0: ans[idx] = cur idx -= 1 tot = start = getStart(level) end = getEnd(level) if level % 2 == 0: # 当前层为偶数层，则当前层节点「从右往左」数值递增，相应计算上一层下标也应该「从右往左」 j = tot//2 for i in range(start, end + 1, 2): if i == cur or i + 1 == cur: break j -= 1 prevStart = getStart(level - 1) while j > 1: prevStart += 1 j -= 1 cur = prevStart else: # 当前层为奇数层，则当前层节点「从左往右」数值递增，相应计算上一层下标也应该「从左往右」 j = 1 for i in range(start, end + 1, 2): if i == cur or i + 1 == cur: break j += 1 prevEnd = getEnd(level - 1) while j > 1: prevEnd -= 1 j -= 1 cur = prevEnd level -= 1 return ans 复制代码
- 时间复杂度：确定 nn 所在层级复杂度为 O(\log{n})O(logn)；构造答案最坏情况下每个节点会被遍历一次，复杂度为 O(n)O(n)
- 空间复杂度：O(1)O(1)
数学
上述解法复杂度上界取决于「由当前行节点位置确定上层位置」的线性遍历。
如果二叉树本身不具有奇偶性翻转的话，显然某个节点 xx 的父节点为 \left \lfloor x / 2 \right \rfloor⌊x/2⌋，但事实上存在奇偶性翻转，而在解法一中我们已经可以 O(1)O(1) 计算某一层的起始值和结束值，有了「起始值 & 结算值」和「当前节点所在层的相对位置」，只需要利用“对称性”找到父节点在上层的相应位置，然后根据相应位置算出父节点值即可。
Java 代码：
class Solution { int getStart(int level) { return (int)Math.pow(2, level - 1); } int getEnd(int level) { int a = getStart(level); return a + a - 1; } public List<Integer> pathInZigZagTree(int n) { int level = 1; while (getEnd(level) < n) level++; int[] ans = new int[level]; int idx = level - 1, cur = n; while (idx >= 0) { ans[idx--] = cur; int loc = ((1 << (level)) - 1 - cur) >> 1; cur = (1 << (level - 2)) + loc; level--; } List<Integer> list = new ArrayList<>(); for (int i : ans) list.add(i); return list; } } 复制代码
Python 3 代码：
class Solution: def pathInZigZagTree(self, n: int) -> List[int]: # 第 level 层的起始节点值 def getStart(level): return 2 ** (level-1) # 第 level 层的结束节点值 def getEnd(level): return 2**level - 1 level = 1 while getEnd(level) < n: level+=1 ans = [0] * level idx, cur = level - 1, n while idx >= 0: ans[idx] = cur idx -= 1 loc = ((1 << (level)) - 1 - cur) >> 1 cur = (1 << (level - 2)) + loc if level >= 2 else loc level -= 1 return ans 复制代码
- 时间复杂度：复杂度上界取决于确定 nn 所在层级。复杂度为 O(\log{n})O(logn)
- 空间复杂度：O(1)O(1)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1104 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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