【第一讲】基础算法（2）

1.5前缀和与差分

一维前缀和 —— 模板题 AcWing 795. 前缀和

S[i] = a[1] + a[2] + … a[i]

a[l] + … + a[r] = S[r] - S[l - 1]

二维前缀和 —— 模板题 AcWing 796. 子矩阵的和

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和

以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：

S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

一维差分 —— 模板题 AcWing 797. 差分

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

二维差分 —— 模板题 AcWing 798. 差分矩阵

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：

S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

1.5.1 795. 前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n,

1≤n,m≤100000,

−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3

2 1 3 6 4

1 2

1 3

2 4

输出样例：

3

6

10

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int sum[N];
int n,m;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        cin>>x;
        sum[i]=sum[i-1]+x;
    }
    while(m--)
    {
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        cout<<sum[r]-sum[l-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

1.5.2 796. 子矩阵的和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,

1≤q≤200000,

1≤x1≤x2≤n,

1≤y1≤y2≤m,

−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3

1 7 2 4

3 6 2 8

2 1 2 3

1 1 2 2

2 1 3 4

1 3 3 4

输出样例：

17

27

21

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int sum[N][N];
int n,m,q;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int x;
            cin>>x;
            sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+x;
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        cout<<sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

1.5.3 797. 差分

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000,

1≤l≤r≤n,

−1000≤c≤1000,

−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3

1 2 2 1 2 1

1 3 1

3 5 1

1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int B[N],A[N];
int n,m;
void myinsert(int l,int r,int c)
{
    B[l]+=c;
    B[r+1]-=c;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>A[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        myinsert(i,i,A[i]);
    }
    while(m--)
    {
        int l,r,c;
        cin>>l>>r>>c;
        myinsert(l,r,c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        B[i]+=B[i-1];
        cout<<B[i]<<" ";
    }
    return 0;
}

1.5.4 798. 差分矩阵

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000,

1≤q≤100000,

1≤x1≤x2≤n,

1≤y1≤y2≤m,

−1000≤c≤1000,

−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3

1 2 2 1

3 2 2 1

1 1 1 1

1 1 2 2 1

1 3 2 3 2

3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1

4 3 4 1

2 2 2 2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m,q;
int a[N][N],b[N][N];
void myinsert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            myinsert(i,j,i,j,a[i][j]);
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
        myinsert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            b[i][j]=b[i][j]+b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
            cout<<b[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

1.6双指针算法

双指针算法 —— 模板题 AcWIng 799. 最长连续不重复子序列, AcWing 800. 数组元素的目标和

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
    // 具体问题的逻辑
}

常见问题分类：

(1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间

(2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

1.6.1 799. 最长连续不重复子序列

给定一个长度为 n 的整数序列，请找出最长的不包含重复的数的连续区间，输出它的长度。

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数（均在 0∼105 范围内），表示整数序列。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示最长的不包含重复的数的连续区间的长度。

数据范围

1≤n≤105

输入样例：

5

1 2 2 3 5

输出样例：

3

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n;
int a[N],s[N]={0};
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    int ans=0;
    for(int i=0,j=0;i<n;i++)
    {
        s[a[i]]++;
        while(s[a[i]]>1)
        {
            s[a[j]]--;
            j++;
        }
        ans=max(ans,i-j+1);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

1.6.2 800. 数组元素的目标和

给定两个升序排序的有序数组 A 和 B，以及一个目标值 x。

数组下标从 0 开始。

请你求出满足 A[i]+B[j]=x 的数对 (i,j)。

数据保证有唯一解。

输入格式

第一行包含三个整数 n,m,x，分别表示 A 的长度，B 的长度以及目标值 x。

第二行包含 n 个整数，表示数组 A。

第三行包含 m 个整数，表示数组 B。

输出格式

共一行，包含两个整数 i 和 j。

数据范围

数组长度不超过 105。

同一数组内元素各不相同。

1≤数组元素≤109

输入样例：

4 5 6

1 2 4 7

3 4 6 8 9

输出样例：

1 1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],b[N];
int n,m,x;
int main()
{
    cin>>n>>m>>x;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        cin>>b[i];
    }
    for(int i=0,j=m-1;i<n;i++)
    {
        while(a[i]+b[j]>x)
        {
            j--;
        }
        if(a[i]+b[j]==x)
        {
            cout<<i<<" "<<j;
            break;
        }
    }
    return 0;
}

1.6.3 2816. 判断子序列

给定一个长度为 n 的整数序列 a1,a2,…,an 以及一个长度为 m 的整数序列 b1,b2,…,bm。

请你判断 a 序列是否为 b 序列的子序列。

子序列指序列的一部分项按原有次序排列而得的序列，例如序列 {a1,a3,a5} 是序列 {a1,a2,a3,a4,a5} 的一个子序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n,m。

第二行包含 n 个整数，表示 a1,a2,…,an。

第三行包含 m 个整数，表示 b1,b2,…,bm。

输出格式

如果 a 序列是 b 序列的子序列，输出一行 Yes。

否则，输出 No。

数据范围

1≤n≤m≤105,

−109≤ai,bi≤109

输入样例：

3 5

1 3 5

1 2 3 4 5

输出样例：

Yes

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,m;
int a[N],b[N];
bool s[N];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        cin>>b[i];
    }
    int j=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(;j<m;j++)
        {
            if(a[i]==b[j])
            {
                s[i]=true;
                j++;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(s[i]==false)
        {
            cout<<"No";
            return 0;
        }
    }
    cout<<"Yes";
    return 0;
}

1.7位运算

位运算 —— 模板题 AcWing 801. 二进制中1的个数

求n的第k位数字: n >> k & 1

返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n

1.7.1 801. 二进制中1的个数

给定一个长度为 n 的数列，请你求出数列中每个数的二进制表示中 1 的个数。

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数，表示整个数列。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，其中的第 i 个数表示数列中的第 i 个数的二进制表示中 1 的个数。

数据范围

1≤n≤100000,

0≤数列中元素的值≤109

输入样例：

5

1 2 3 4 5

输出样例：

1 1 2 1 2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n;
int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int x;
        cin>>x;
        int ans=0;
        while(x)
        {
            x-=lowbit(x);
            ans++;
        }
        cout<<ans<<" ";
    }
    return 0;
}

1.8离散化

离散化 —— 模板题 AcWing 802. 区间和

vector alls; // 存储所有待离散化的值

sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序

alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

1.8.1 802. 区间和

假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 0。

现在，我们首先进行 n 次操作，每次操作将某一位置 x 上的数加 c。

接下来，进行 m 次询问，每个询问包含两个整数 l 和 r，你需要求出在区间 [l,r] 之间的所有数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 n 行，每行包含两个整数 x 和 c。

再接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。

数据范围

−109≤x≤109,

1≤n,m≤105,

−109≤l≤r≤109,

−10000≤c≤10000

输入样例：

3 3

1 2

3 6

7 5

1 3

4 6

7 8

输出样例：

8

0

5

1.9区间合并

区间合并 —— 模板题 AcWing 803. 区间合并

// 将所有存在交集的区间合并

void merge(vector &segs)

{

   vector res;

   sort(segs.begin(), segs.end());

   int st = -2e9, ed = -2e9;

   for (auto seg : segs)

       if (ed < seg.first)

       {

           if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

           st = seg.first, ed = seg.second;

       }

       else ed = max(ed, seg.second);

   if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

   segs = res;

}

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1.9.1 803. 区间合并

给定 n 个区间 [li,ri]，要求合并所有有交集的区间。

注意如果在端点处相交，也算有交集。

输出合并完成后的区间个数。

例如：[1,3] 和 [2,6] 可以合并为一个区间 [1,6]。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含两个整数 l 和 r。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示合并区间完成后的区间个数。

数据范围

1≤n≤100000,

−109≤li≤ri≤109

输入样例：

5

1 2

2 4

5 6

7 8

7 9

输出样例：

3

#include

using namespace std;

const int N=100010;

typedef pair PII;

int n;

PII a[N];

int main()

{

   cin>>n;

   for(int i=0;i

   {

       int l,r;

       cin>>l>>r;

       a[i]=make_pair(l,r);

   }

   sort(a,a+n);

   int ans=1,r=a[0].second;

   for(int i=1;i

   {

       if(a[i].first>r)

       {

           ans++;

           r=a[i].second;

       }

       else if(a[i].first<=r)

       {

           r=max(r,a[i].second);

       }

   }

   cout<

   return 0;

}