3. 谓词公式定义
谓词公式定义 :
1.原始谓词公式 : n nn 元 谓词 是一个 谓词公式 ;
2.否定式 : 如果 A AA 是谓词公式 , 那么 ( ¬ A ) (\lnot A)(¬A) 也是谓词公式 ;
3.两个谓词公式 组合 : 如果 A , B A, BA,B 是谓词公式 , 那么 ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A → B ) , ( A ↔ B ) (A \land B) , (A \lor B), (A \rightarrow B), (A \leftrightarrow B)(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 四种联结词 组合成的符号, 也是谓词公式 ;
4.谓词公式 与 量词 组合 : 如果 A AA 是谓词公式 , 且含有 个体变元x xx , 且 x xx 没有被量词限制 , 那么 ∀ x A ( x ) \forall x A(x)∀xA(x) , 或 ∃ x A ( x ) \exist x A(x)∃xA(x) 也是谓词公式 ;
5.有限次重复 : 有限次 对 谓词公式 使用 1. ~ 4. 方法进行处理 得到的 也是 谓词公式 ;
谓词公式拼装 :
1> 经过若干次 拼装 组合好 的谓词公式 , 或者 刚写出的 单个 谓词公式 , 可以 作为原始 谓词公式 S SS ;
2> 在 原始谓词公式 S SS 前 加上 ¬ \lnot¬ 也是谓词公式 , 注意外部带上括号 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 S SS 使用 )
3> 使用 联结词 将 两个 原始谓词公式 S SS 连接起来 , 整个 组合 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 S SS 使用 )
4> 在 原始谓词公式 S SS 前 加上 量词约束 ∀ x A ( x ) \forall x A(x)∀xA(x) , 或 ∃ x A ( x ) \exist x A(x)∃xA(x) , 组合后 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 S SS 使用 ) ( 注意 前提 : 加入量词约束的 个体词 不能被 已有量词约束 )
4> 步骤 的 注意点 :
① 前提 : 该谓词中的个体 , 没有被量词约束 , 如果有 不能重复约束 ;
三. 命题符号化 习题
1. 简单量词 示例
( 1 ) 全称量词示例
题目 :
1.要求 : 命题符号化 :
2.命题内容 : 人都吃饭 ;
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1> F ( x ) F(x)F(x) : x xx 是人 ;
2> G ( x ) G(x)G(x) : x xx 吃饭 ;
③ 命题符号化 :
∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) \forall x (F(x) \rightarrow G(x))
∀x(F(x)→G(x))
( 2 ) 全称量词 示例 2
题目 :
1.要求 : 命题符号化 :
2.命题内容 : 某班级所有学生都学过微积分 ;
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1> F ( x ) F(x)F(x) : x xx 是某班级的学生 ;
2> G ( x ) G(x)G(x) : x xx 学过微积分 ;
③ 命题符号化 :
∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) \forall x (F(x) \rightarrow G(x))
∀x(F(x)→G(x))
( 3 ) 存在 量词 示例
题目 :
1.要求 : 命题符号化 :
2.命题内容 : 有人喜欢吃糖 ;
解答 :
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1> F ( x ) F(x)F(x) : x xx 是人 ;
2> G ( x ) G(x)G(x) : x xx 喜欢吃糖 ;
③ 命题符号化 :
∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ) \exist x (F(x) \land G(x))
∃x(F(x)∧G(x))
另外一种符号化方法 : 将糖也堪称一个个体 :
① 个体域 : 全总个体域
② 谓词 : 性质/关系 定义 :
F ( x ) F(x)F(x) 表示 x xx 是人
G ( y ) G(y)G(y) 表示 y yy 是糖
H ( x , y ) H(x, y)H(x,y) 表示 x xx 喜欢吃 y yy
③ 命题符号化 :
∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x , y ) ) \exist x (F(x) \land G(x) \land H(x, y))
∃x(F(x)∧G(x)∧H(x,y))
2. 量词位置不同 导致的符号化 结果不同
题目 :
1.要求 : 命题符号化 :
2.命题内容 : 男人都比女人跑得快 ;
1> 方式 一 :
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1> F ( x ) F(x)F(x) : x xx 是男人 ;
2> G ( y ) G(y)G(y) : y yy 是女人 ;
3> H ( x , y ) H(x,y)H(x,y) : x xx 比 y yy 跑得快 ;
③ 命题符号化 :
∀ x ( F ( x ) → ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) ) \forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))
∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))
该命题符号有等价形式 :
∀ x ∀ y ( F ( x ) ∧ G ( y ) → H ( x , y ) ) ) \forall x \forall y (F(x) \land G(y) \rightarrow H(x,y) ))
∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)))
这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;
符号化分析 :
① 将 ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )∀y(G(y)→H(x,y)) 独立分析 , 首先 整个 命题都处于 ∀ x \forall x∀x 作用域中 , 这里 有如下属性 , 所有的女人 , 所有的男人比女人跑的快 ; 将其看做一个独立的命题 A AA ;
② 下面分析 ∀ x ( F ( x ) → A ) ∀x(F(x)→ A)∀x(F(x)→A) , 对于所有的男人 来说 , 只要是男人 , 都有 命题 A AA 的性质 ;
2> 方式 二 :
① 个体域 : 全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1> F ( x ) F(x)F(x) : x xx 是男人 ;
2> G ( x ) G(x)G(x) : x xx 是女人 ;
3> H ( x , y ) H(x,y)H(x,y) : x xx 比 y yy 跑得快 ;
③ 命题符号化 :
∀ x ∀ y ( F ( x ) ∧ G ( x ) → H ( x , y ) ) \forall x \forall y (F(x) \land G(x) \rightarrow H(x,y))
∀x∀y(F(x)∧G(x)→H(x,y))
这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;
符号化分析 :
将 F ( x ) ∧ G ( x ) F(x) \land G(x)F(x)∧G(x) 看做一个整体 A AA , 即 x xx 是男人 , y yy 是女人 , 针对所有的 x , y x, yx,y 有性质 A AA , 那么 x , y x, yx,y 同时又有性质 或 关系 H ( x , y ) H(x,y)H(x,y) ;
3. 带 或者 的 命题符号化
( 1 ) 带 或者 的 命题符号化
题目 :
1.要求 : 命题符号化 :
2.命题内容 : 某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友;
解答 :
① 个体域 : 某班级的所有学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F ( x ) F(x)F(x) : x xx 有一台电脑 ;
2> G ( x , y ) G(x, y)G(x,y) : x xx 和 y yy 是朋友 ;
③ 命题符号 :
∀ x ( F ( x ) ∨ ∃ y ( F ( y ) ∧ G ( x , y ) ) ) \forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) )
∀x(F(x)∨∃y(F(y)∧G(x,y)))
解析 :
1> 个体域定义 : 个体域 定为 “某班级中的所有学生” ;
2> 最外层量词确定 : 其都具有性质 “某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友” , 因此 最外层必须是 全称量词 ∀ x ( A ( x ) ) \forall x (A(x))∀x(A(x)) , 下面开始分析其中的 A ( x ) A(x)A(x) ;
3> 两个性质之间是 或者 的关系 : 两个性质使用 ∨ \lor∨ 进行连接 , 分别是 B ( x ) B(x)B(x) ( “有一台电脑” ) 和 C ( x ) C(x)C(x) ( “有一个拥有电脑的朋友” ) , 当前符号 : ∀ x ( B ( x ) ∧ C ( x ) ) \forall x (B(x) \land C(x))∀x(B(x)∧C(x)) ;
4> “有一台电脑” : 表示成 F ( x ) F(x)F(x) ; 当前符号 : ∀ x ( F ( x ) ∧ C ( x ) ) \forall x (F(x) \land C(x))∀x(F(x)∧C(x)) ;
5> “有一个有电脑的朋友” ( 这个比较复杂 ) :
① 首先 要虚构 一个 学生 y yy , 这个 y yy 代表那个有电脑的朋友 ;
② 再确定量词 : "有一个" 显然是存在量词 ∃ y \exist y∃y ( 如果用全称量词的话 , 那班级所有人都是他的朋友 ) ;
③ 对这个 虚构的 y yy 的要求是 , y yy 同时满足两个条件 , “a. 有电脑” “b. x , y x,yx,y 是朋友” , 因此使用 ∧ \land∧ 将其连接起来 , 最终表示成 F ( y ) ∧ G ( x , y ) F(y) \land G(x , y)F(y)∧G(x,y) ;
④ 本句的符号为 : ∃ y ( F ( y ) ∧ G ( x , y ) ) \exist y ( F(y) \land G(x , y) )∃y(F(y)∧G(x,y)) ;
6> 最终符号为 : ∀ x ( F ( x ) ∨ ∃ y ( F ( y ) ∧ G ( x , y ) ) ) \forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) )∀x(F(x)∨∃y(F(y)∧G(x,y))) ;
( 2 ) 带 或者的 命题 示例 2
命题符号化 :
某班级中 每个 学生 或者 去过 北京 , 或者去过 上海
解答 :
命题符号化 结果 :
① 个体域 : 某班级全体学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F ( x ) F(x)F(x) : x xx 去过北京;
2> G ( x ) G(x)G(x) : x xx 去过上海;
③ 命题符号 :
∀ x ( F ( x ) ∨ G ( x ) ) \forall x ( F(x) \lor G(x))
∀x(F(x)∨G(x))
解析 :
1> 个体域 量词 分析 : ∀ x \forall x∀x 指的是 某班级全体 学生 中的 每一个 , 所有的 学生 ;
2> F ( x ) ∨ G ( x ) F(x) \lor G(x)F(x)∨G(x) 解读 : 表示 x xx 去过 北京 或者 去过 上海 ;
3> ∀ x ( F ( x ) ∨ G ( x ) ) \forall x ( F(x) \lor G(x))∀x(F(x)∨G(x)) 解读 : 所有的学生 , 要么去过北京 , 要么去过上海 , 二者必选其一 , 且 只能选其一 ;
