【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 )（三）

4. 复杂命题 示例

( 1 ) 复杂命题的符号化

题目 :

1.要求 : 命题符号化 :

2.命题内容 : 存在一个学生 x xx, 对所有不同的两个学生 y yy 和 z zz 来说 , 如果 x xx 与 y yy 是好朋友 , 并且 x xx 和 z zz 也是好朋友 , 那么 y yy 和 z zz 不是好朋友;

题目分析 :

1.个体域分析 : 命题中涉及到的个体都是 学生 , 那么 将 个体域 设置为 全体学生 ;

2.性质和关系分析 :

① “对所有不同的两个学生” : 涉及到了 两个不同的学生 , 因此需要 定义一个 谓词 , 表示 两个学生是 不同的 或 相同的 ;

② "x xx 与 y yy 是好朋友" : 涉及到 两个 学生 是 或者 不是 好朋友 , 因此 这里需要定义一个谓词 , 表示 两个学生 是 或者 不是 好朋友 ;

3.主题框架分析 :

① 量词约束 : " 存在一个学生 x xx, 对所有不同的两个学生 y yy 和 z zz 来说 " 可以写出 最外围 的 量词约束 , ∃ x ∀ y ∀ z \exist x \forall y \forall z∃x∀y∀z , 然后在对 x , y , z x, y , zx,y,z 之间的关系进行描述 ;

② "如果 x xx 与 y yy 是好朋友 , 并且 x xx 和 z zz 也是好朋友 , 那么 y yy 和 z zz 不是好朋友; " : 这个命题 可以用 蕴涵 联结词 进行表示 ;

a> 命题 A AA : "如果 x xx 与 y yy 是好朋友 , 并且 x xx 和 z zz 也是好朋友" ,

b> 命题 B BB : "那么 y yy 和 z zz 不是好朋友" ;

c> 命题 A , B A,BA,B 的关系 : A → B A \rightarrow BA→B ;

解答 :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 全体学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

1> F ( x , y ) F(x, y)F(x,y) : x xx 和 y yy 是好朋友;

2> G ( x , y ) G(x, y)G(x,y) : x xx 和 y yy 是相同的 ;

③ 命题符号 :

∃ x ∀ y ∀ z ( ( ¬ G ( y , z ) ∧ F ( x , y ) ∧ F ( x , z ) ) → ¬ F ( y , z ) ) \exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) )

∃x∀y∀z((¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z))

解析 :

1> 量词分析 : ∃ x ∀ y ∀ z \exist x \forall y \forall z∃x∀y∀z 对应了 题目中的 "存在一个学生 x xx, 对所有不同的两个学生 y yy 和 z zz 来说"

2> ( ¬ G ( y , z ) ∧ F ( x , y ) ∧ F ( x , z ) ) ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) )(¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z)) 分析 : 该句对应了 “不同的两个学生 y yy 和 z zz 来说 , 如果 x xx 与 y yy 是好朋友 , 并且 x xx 和 z zz 也是好朋友” 同时满足 这 三个条件 ;

3> ¬ F ( y , z ) \lnot F(y, z)¬F(y,z) 分析 : 对应了结果 “那么 y yy 和 z zz 不是好朋友” ;

4> 同时满足 3 条件 然后退出结果 : ( ¬ G ( y , z ) ∧ F ( x , y ) ∧ F ( x , z ) ) → ¬ F ( y , z ) ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z)(¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z) ;

5> 加上量词约束 得到最终结果 : ∃ x ∀ y ∀ z ( ( ¬ G ( y , z ) ∧ F ( x , y ) ∧ F ( x , z ) ) → ¬ F ( y , z ) ) \exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) )∃x∀y∀z((¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z)) ;

( 2 ) 个体域变化 情况 的 两种分析

题目 :

1.要求 : 命题符号化 :

2.命题内容 : 某班级中 有些学生去过 北京

解答 :

( 1 ) 方法 一 ( 个体域 为 某班级全体学生 ) :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 某班级全体学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

1> F ( x ) F(x)F(x) : x xx 去过北京;

③ 命题符号 :

∃ x ( F ( x ) ) \exist x ( F(x) )

∃x(F(x))

解析 : 直接写出即可 , 有些学生 , 使用 存在量词 ∃ x \exist x∃x 表示 , ∃ x ( F ( x ) ) \exist x( F(x) )∃x(F(x)) 表示 有些学生去过 北京 ;

( 1 ) 方法 二 ( 个体域 为 全总个体域 ) :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 全总个体域

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

1> F ( x ) F(x)F(x) : x xx 去过北京;

2> G ( x ) G(x)G(x) : x xx 是某班级的学生;

③ 命题符号 :

∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land G(x))

∃x(F(x)∧G(x))

解析 : ∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land G(x))∃x(F(x)∧G(x))

1> 个体域分析 : 个体域 为 全总个体域 , 那么 ∃ x \exist x∃x 就是 存在某个事物 , 这个事物属性是宇宙间的一些事物 ;

2> F ( x ) ∧ G ( x ) F(x) \land G(x)F(x)∧G(x) : 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;

3> 完整解读 : ∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land G(x))∃x(F(x)∧G(x)) , 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;

( 3 ) 当且仅当 转化问题

题目 :

1.要求 : 命题符号化 :

2.命题内容 : 每个人有且只有一个好朋友

解答 :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 所有的人

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

1> F ( x , y ) F(x , y)F(x,y) : x , y x , yx,y 是好朋友;

2> G ( x , y ) G(x, y)G(x,y) : x , y x , yx,y 相等;

③ 命题符号 一 :

∀ x ∃ y ∀ z ( ( F ( x , y ) ∧ ¬ G ( y , z ) ) → ¬ F ( x , z ) ) \forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land \lnot G(y, z) ) \rightarrow \lnot F(x,z) )

∀x∃y∀z((F(x,y)∧¬G(y,z))→¬F(x,z))

解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 此处 x , y x ,yx,y 已经是好朋友了 , 如果出现一个 z zz 与 y yy 不相等 , 那么 x , z x,zx,z 一定不是好朋友 ;

量词分析 :

对于所有的 x xx , 存在一个 y yy 是他的朋友 , 所有的 z zz 与 x xx 是好朋友 , 那么 这个 z zz 就是 y yy ;

④ 命题符号二 :

∀ x ∃ y ∀ z ( ( F ( x , y ) ∧ F ( x , z ) ) → G ( y , z ) ) \forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow G(y,z) )

∀x∃y∀z((F(x,y)∧F(x,z))→G(y,z))

解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 如果 x , y x,yx,y 是好朋友 , x , z x,zx,z 是好朋友 , 那么 y , z y,zy,z 肯定相等 ;

量词分析 :

对于所有的 x xx , 存在一个 y yy 是他的朋友 , 所有的 z zz 与 x xx 是好朋友 , 那么 这个 z zz 就是 y yy ;

当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :

当且仅当 谓词逻辑 符号化 :

1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;

2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是

① 对于所有的 x xx 与 存在的一个 y yy 有 某种性质或关系 ,

② 对于所有的 x xx 和 所有的 z zz 存在某种性质或关系 ;

③ y yy 与 z zz 具有相等的属性 ;

3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 :

① 对于所有的 x xx 与 存在的一个 y yy 有 某种性质或关系 ,

② y yy 与 所有的 z zz 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,

③ 可以推出 x xx 和 z zz 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;

( 4 ) 使用 全称量词 和 存在量词 两种形式 进行命题符号化

题目 :

1.要求 : 命题符号化 :

2.命题内容 : 并非所有的动物都是猫

解答 :

命题符号化 结果 ( 全程量词 ) : 该方式 属于 正面解答 ;

① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

1> F ( x ) F(x)F(x) : x xx 是 动物;

2> G ( x ) G(x)G(x) : x xx 是 猫;

③ 命题符号 一 :

¬ ( ∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) ) \lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) )

¬(∀x(F(x)→G(x)))

解析 : 命题是 “并非所有的动物都是猫” , 这里我们开始拆解命题 :

1> 提取否定 : 把并非提取出来 为 ¬ \lnot¬ , 否定的命题是 “并非所有的动物都是猫” ;

2> 写出 “并非所有的动物都是猫” 命题 : 即 凡是具有动物性质的事物 , 都具有 是 猫 的性质 , 这里符号化为 ∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) )∀x(F(x)→G(x)) ;

3> 最终结果 : ¬ ( ∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) ) \lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) )¬(∀x(F(x)→G(x))) ;

命题符号化 结果 ( 存在量词 ) : 该方式 属于 侧面回答 ;

转化命题 : 存在有的动物 不是猫 ;

① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

1> F ( x ) F(x)F(x) : x xx 是 动物;

2> G ( x ) G(x)G(x) : x xx 是 猫;

③ 命题符号 一 :

∃ x ( F ( x ) ∧ ¬ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land \lnot G(x) )

∃x(F(x)∧¬G(x))

∃ x ( F ( x ) ∧ ¬ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land \lnot G(x) )∃x(F(x)∧¬G(x)) 解析 : 存在某个事物 , 其满足是动物的性质 , 同时满足 其不是猫 的性质 ;