文章目录
一、 前束范式
二、 前束范式转换方法
三、 前束范式示例
四、 谓词逻辑推理定律
一、 前束范式
公式 A AA 有如下形式 :
Q 1 x 1 Q 2 x 2 ⋯ Q k x k B Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots Q_kx_k B
Q
1
x
1
Q
2
x
2
⋯Q
k
x
k
B
则称 A AA 是 前束范式 ; 前束范式 A AA 的相关元素 说明 :
量词 : Q i Q_iQ
i
是量词 , 全称量词 ∀ \forall∀ , 或 存在量词 ∃ \exist∃ ;
指导变元 :x i x_ix
i
是 指导变元 ;
B BB 公式 : B BB 是谓词逻辑公式 , 其中不含有量词 , B BB 中 可以含有 前面的 x 1 , x 2 , ⋯ , x k x_1 , x_2 , \cdots , x_kx
1
,x
2
,⋯,x
k
指导变元 , 也 可以不含有 其中的某些变元 ;
( B BB 中一定不能含有量词 )
二、 前束范式转换方法
求一个谓词逻辑公式的前束范式 , 使用 基本等值式 , 或 换名规则 ;
基本等值式 : 参考博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 谓词逻辑基本等值式 | 消除量词等值式 | 量词否定等值式 | 量词辖域收缩扩张等值式 | 量词分配等值式 )
换名规则 : 公式 A AA 中 , 某个量词辖域中 , 某个约束 出现的 个体变元 对应的 指导变元 x i x_ix
i
, 使用公式 A AA 中没有出现过的 变元 x j x_jx
j
进行替换 , 所得到的公式 A ′ ⇔ A A' \Leftrightarrow AA
′
⇔A ;
如 : ∀ x F ( x ) ∨ ∀ x ¬ G ( x , y ) \forall x F(x) \lor \forall x \lnot G(x, y)∀xF(x)∨∀x¬G(x,y) 如果要求其前束范式 , 前后有两个 x xx , 这里使用换名规则 , 将某个换成没有出现过的 指导变元 z zz , 换名后为 ∀ x F ( x ) ∨ ∀ z ¬ G ( z , y ) \forall x F(x) \lor \forall z \lnot G(z, y)∀xF(x)∨∀z¬G(z,y) ;
三、 前束范式示例
求 ∀ x F ( x ) ∨ ¬ ∃ x G ( x , y ) \forall x F(x) \lor \lnot \exist x G(x, y)∀xF(x)∨¬∃xG(x,y) 的前束范式 ;
上述公式不是前束范式 , 其 量词 ∀ x \forall x∀x 的辖域是 F ( x ) F(x)F(x) , 量词 ∃ x \exist x∃x 的辖域是 G ( x , y ) G(x, y)G(x,y) , 两个辖域都没有覆盖完整的公式 ;
使用 等值演算 和 换名规则 , 求前束范式 ;
∀ x F ( x ) ∨ ¬ ∃ x G ( x , y ) \forall x F(x) \lor \lnot \exist x G(x, y)∀xF(x)∨¬∃xG(x,y)
使用 量词否定等值式 , 先把 否定联结词 移动到量词后面 , 使用的等值式为 ¬ ∃ x A ( x ) ⇔ ∀ x ¬ A ( x ) \lnot \exist x A(x) \Leftrightarrow \forall x \lnot A(x)¬∃xA(x)⇔∀x¬A(x) ;
⇔ ∀ x F ( x ) ∨ ∀ x ¬ G ( x , y ) \Leftrightarrow \forall x F(x) \lor \forall x \lnot G(x, y)⇔∀xF(x)∨∀x¬G(x,y)
使用 换名规则 , 将第二个 ∀ x ¬ G ( x , y ) \forall x \lnot G(x, y)∀x¬G(x,y) 中的 x xx 换成 z zz ;
⇔ ∀ x F ( x ) ∨ ∀ z ¬ G ( z , y ) \Leftrightarrow \forall x F(x) \lor \forall z \lnot G(z, y)⇔∀xF(x)∨∀z¬G(z,y)
使用 辖域扩张等值式 , 将 ∀ x \forall x∀x 辖域扩张 , 使用的等值式为 ∀ x ( A ( x ) ∨ B ) ⇔ ∀ x A ( x ) ∨ B \forall x ( A(x) \lor B ) \Leftrightarrow \forall x A(x) \lor B∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B
⇔ ∀ x ( F ( x ) ∨ ∀ z ¬ G ( z , y ) ) \Leftrightarrow \forall x ( F(x) \lor \forall z \lnot G(z, y) )⇔∀x(F(x)∨∀z¬G(z,y))
再次使用 辖域扩张等值式 , 将 ∀ z \forall z∀z 辖域扩张 , 使用的等值式为 ∀ x ( A ( x ) ∨ B ) ⇔ ∀ x A ( x ) ∨ B \forall x ( A(x) \lor B ) \Leftrightarrow \forall x A(x) \lor B∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B
⇔ ∀ x ∀ z ( F ( x ) ∨ ¬ G ( z , y ) ) \Leftrightarrow \forall x \forall z ( F(x) \lor \lnot G(z, y) )⇔∀x∀z(F(x)∨¬G(z,y))
此时已经是前束范式了 ;
使用 命题逻辑 等值式 中的 蕴涵等值式
⇔ ∀ x ∀ z ( G ( z , y ) → F ( x ) ) \Leftrightarrow \forall x \forall z ( G(z, y) \to F(x) )⇔∀x∀z(G(z,y)→F(x))
四、 谓词逻辑推理定律
下面推理定律是单向的 , 从左边可以推理出右边 , 从右边不能推理出左边 ; ( 不是等值式 )
① ∀ x A ( x ) ∨ ∀ x B ( x ) ⇒ ∀ x ( A ( x ) ∨ B ( x ) ) \rm \forall x A(x) \lor \forall x B(x) \Rightarrow \forall x ( A(x) \lor B(x) )∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))
对应 全称量词 分配率 , 等值式中 只适用于 合取联结词 , 就是因为上述 析取时 , 从右往左 是错误的 , 只能从左往右推理 ;
② ∃ x ( A ( x ) ∧ B ( x ) ) ⇒ ∃ x A ( x ) ∧ ∃ x B ( x ) \rm \exist x ( A(x) \land B(x) ) \Rightarrow \exist x A(x) \land \exist x B(x)∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)
③ ∀ x ( A ( x ) → B ( x ) ) ⇒ ∀ x A ( x ) → ∀ x B ( x ) \rm \forall x ( A(x) \to B(x) ) \Rightarrow \forall x A(x) \to \forall x B(x)∀x(A(x)→B(x))⇒∀xA(x)→∀xB(x)
④ ∀ x ( A ( x ) → B ( x ) ) ⇒ ∃ x A ( x ) → ∃ x B ( x ) \rm \forall x ( A(x) \to B(x) ) \Rightarrow \exist x A(x) \to \exist x B(x)∀x(A(x)→B(x))⇒∃xA(x)→∃xB(x)
