一. 谓词逻辑相关概念
1. 个体词
个体 简介 :
1.个体 来源 : 一阶谓词逻辑 中 , 将 原子命题 分成 主语 和 谓语 , 这里便有了 个体词 与 谓词 的 概念 ;
2.个体 概念 : 将 独立存在的 客体 , 具体事物 , 抽象事物 ( 概念 ) 称为 个体 或 个体词 ;
3.个体 变元 : 使用 a , b , c a,b,ca,b,c 表示个体变元 ;
4.个体 常元 : 使用 x , y , z x, y, zx,y,z 表示个体常元 ;
5.个体域 概念 : 个体 变元 的取值 称为 个体域 ;
6.个体域 取值 : 个体域 可以 取值 有穷集合 或 无穷集合 ;
7.全总个体域 : 宇宙间一切事物 组成的 个体域 称为 全总个体域 ;
命题是陈述句 , 其中陈述句由 主语 , 谓语 , 宾语 组成 , 主语宾语就是个体 , 谓语就是谓词 ;
谓词逻辑 由 个体 , 谓词 , 量词 组成 ;
2. 谓词
谓词 简介 :
1.谓词概念 : 将表示 个体性质 或 彼此之间关系 的 词 称为 谓词 ;
2.谓词表示 : 使用 F , G , H F, G, HF,G,H 表示谓词 常元 或 变元 ;
3.个体性质谓词表示 : F ( x ) F(x)F(x) 表示 x xx 具有 性质 F FF , 如 F ( x ) F(x)F(x) 表示 x xx 是黑的 ;
4.关系性质谓词表示示例 : F ( x , y ) F(x, y)F(x,y) 表示 x , y x, yx,y 具有 关系 F , 如 : F FFG ( x , y ) G(x, y)G(x,y) 表示 x xx 大于 y yy ;
3. 量词
( 1 ) 全称量词
全称量词 : Any 中的 A 上下颠倒过来 ;
1.语言对应 : 对应 自然语言 中 “任意” , “所有的” , “每一个” 等 ;
2.表示方式 : 使用符号 ∀ \forall∀ 表示 ;
3.解读1 : ∀ x \forall x∀x 表示个体域中 所有的 x xx ;
4.解读2 : ∀ x ( F ( x ) ) \forall x( F(x) )∀x(F(x)) 表示 , 个体域中所有的 x xx 都具有性质 F FF ;
( 2 ) 存在量词
存在量词 : Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ;
1.语言对应 : 对应 自然语言 中 “有一个” , “存在着” , “有的” 等 ;
2.表示方式 : 使用符号 ∃ \exist∃ 表示 ;
3.解读1 : ∃ x \exist x∃x 表示个体域中 存在着的 x xx ;
4.解读2 : ∃ x ( F ( x ) ) \exist x( F(x) )∃x(F(x)) 表示 , 个体域中 存在 x xx 具有性质 F FF ;
二. 命题符号化 技巧
1. 两个基本公式 ( 重要 )
( 1 ) 有性质 F 的个体 都有性质 G
个体域中 所有 有性质 F FF 的 个体 , 都 具有 性质 G GG ;
使用谓词逻辑如下表示 :
① F ( x ) F(x)F(x) : x xx 具有性质 F FF ;
② G ( x ) G(x)G(x) : x xx 具有性质 G GG ;
③ 命题符号化为 :
∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) )
∀x(F(x)→G(x))
( 2 ) 存在既有性质 F 又有性质 G 的个体
个体域 中 存在有性质 F FF 同时有性质 G GG 的个体 ;
使用谓词逻辑如下表示 :
① F ( x ) F(x)F(x) : x xx 具有性质 F FF ;
② G ( x ) G(x)G(x) : x xx 具有性质 G GG ;
③ 命题符号化为 :
∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ) \exist x ( F(x) \land G(x) )
∃x(F(x)∧G(x))
2. 命题符号化技巧
( 1 ) 命题符号化方法
命题符号化方法 :
1.写出个体域 : 先把 个体域 写明白 , 即 表明 ∀ x \forall x∀x , 代表 所有的什么事物 , 如果是一切事物 , 那么必须注明是全总个体域 ;
2.写出性质个关系 谓词 : 使用 F , G , H F , G , HF,G,H 表明 个体的 性质 或 关系 ;
3.命题符号 : 将 命题符号化 结果 注明 , 最好带上详细的解释 ;
( 2 ) 解题技巧
由 全称量词 或 存在量词 个体词 谓词 组合成的 谓词逻辑 , 也可以当做 一个 谓词逻辑 F ( x ) F(x)F(x) 或 G ( x , y ) G(x, y)G(x,y) 部件 再次进行组合 ;
如下 谓词逻辑 :
∀ x ( F ( x ) → ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) ) \forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))
∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))
其中 ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )∀y(G(y)→H(x,y)) 是已经组合过的 谓词逻辑 , 现在将其当做一个 性质 , 或者 谓词逻辑部件 A AA , 再次组合成 更加 复杂 和 庞大的 谓词逻辑 , 得到如下 :
∀ x ( F ( x ) → A ) \forall x (F(x) \rightarrow A)
∀x(F(x)→A)
因此 , 上述 谓词逻辑 展开后 , 就得到了最开始的
∀ x ( F ( x ) → ∀ y ( G ( y ) → H ( x , y ) ) ) \forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))
∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))
( 3 ) 当且仅当 谓词逻辑方法
当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :
当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;
2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是
① 对于所有的 x xx 与 存在的一个 y yy 有 某种性质或关系 ,
② 对于所有的 x xx 和 所有的 z zz 存在某种性质或关系 ;
③ y yy 与 z zz 具有相等的属性 ;
3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 :
① 对于所有的 x xx 与 存在的一个 y yy 有 某种性质或关系 ,
② y yy 与 所有的 z zz 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
③ 可以推出 x xx 和 z zz 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;
