数理逻辑—命题公式及其赋值与分类

简介: 数理逻辑—命题公式及其赋值与分类

正文


由联结词和多个命题常项可以组成复合命题,若是有联结词和多个命题变项则可以组成命题公式。更具体的说,命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号组成的特殊符号串,通常用大写字母表示。


命题公式的严格定义


单个命题变项p , q , r , . . . 是命题公式

多个命题公式通过联结词有限次的组合而成的符号串是命题公式

在命题逻辑中命题公式又称合式公式,简称为公式。


命题公式的层次


命题公式的层次是命题公式的重要概念之一,有利于描述命题公式的求解过程。


定义:


若命题公式A 是单个命题常项或命题变项,则称A 是0层公式

若命题公式A 是有其他命题公式通过联结词组合而成的。设组成A AA的所以命题公式中层次最高命题公式的层次为n nn,则称A AA的层次为n + 1


命题公式的赋值(解释)及真值表


定义:

设A为一个命题公式p 1 , p 2 , . . . , p n为A 中出现的所有命题变项,则给p 1 , p 2 , . . . , p n  指定一组真值的行为,称为对A 的赋值(解释)。若指定的一组值使A 的值为真,则称这组值为A 的成真赋值;若使A 的值为假,则称这组值为A 的成假赋值。


一个含有命题变项的命题公式的真值是不确定的,只有对它的每个命题变项都用指定的命题常项代替后,其真值才唯一确定,命题公式也才能被称为一个命题。


含有n 个命题变项的命题公式共有2^n组赋值。

将命题公式A 在所有赋值之下的取值情况列成表,则称该表为A 的真值表。构造真值表的步骤如下:


将命题公式中的所有命题变项按从左到右的出现顺序列出(有脚标则按脚标顺序)

将所有可能赋值赋给命题变项,从00…0开始,每次加1,直到11…1为止(即以二进制渐增的方式赋值)

对应的每个赋值公式都计算出其命题公式各层次的值

举例:

列出命题公式¬ ( p → q ) 的真值表

25.png


命题公式的分类


定义:


设A 为一个命题公式


若A 在所有赋值下取值均为真,则称A 为重言式(永真式)

若A 在所有赋值下取值均为假,则称A 为矛盾式(永假式)

若A 至少存在一组成真赋值,则称A 是可满足式

根据在各种赋值下的取值情况,所有的命题公式都可以分为以上三类。并且根据定义我们可以知道,重言式一定是可满足式,反之不真。


举例:

求命题公式( p ∧ ( p → q ) ) → q 是哪种类型的命题公式。

解:画出真值表


26.png

由真值表可知命题公式( p ∧ ( p → q ) ) → q 为一个重言式


真值函数


定义:

一个n ( n ⩾ 1 )阶笛卡尔积{ 0 , 1 } n

到{ 0 , 1 } 的函数称为一个n元真值函数,n 元真值函数F 记为F : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 }

n个命题变项的真值表实际上是给出{ 0 , 1 } n到{ 0 , 1 } 的一个对应关系,这就是真值函数。n 个命题变项,共有2^n个可能的赋值。对于每个赋值,真值函数的函数值非0即1。于是n个命题变项共可以组成2^2 n个不同的真值函数。其中每一个真值函数都对应一个真值表,同时也对应着无穷个命题公式,这些公式彼此都是等值的,它们中的每一个都是这个真值函数的一个表达式。


例如,含有两个命题变项p , q 的真值函数共有16个函数值。24.png

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