1 Motivation of Boosting
我们先来看一个简单的识别苹果的例子，老师展示20张图片，让6岁孩子们通过观察，判断其中哪些图片的内容是苹果。从判断的过程中推导如何解决二元分类问题的方法。
显然这是一个监督式学习，20张图片包括它的标签都是已知的。首先，学生Michael回答说：所有的苹果应该是圆形的。根据Michael的判断，对应到20张图片中去，大部分苹果能被识别出来，但也有错误。其中错误包括有的苹果不是圆形，而且圆形的水果也不一定是苹果。如下图所示：
上图中蓝色区域的图片代表分类错误。显然，只用“苹果是圆形的”这一个条件不能保证分类效果很好。我们把蓝色区域（分类错误的图片）放大，分类正确的图片缩小，这样在接下来的分类中就会更加注重这些错误样本。
然后，学生Tina观察被放大的错误样本和上一轮被缩小的正确样本，回答说：苹果应该是红色的。根据Tina的判断，得到的结果如下图所示：
上图中蓝色区域的图片一样代表分类错误，即根据这个苹果是红色的条件，使得青苹果和草莓、西红柿都出现了判断错误。那么结果就是把这些分类错误的样本放大化，其它正确的样本缩小化。同样，这样在接下来的分类中就会更加注重这些错误样本。
接着，学生Joey经过观察又说：苹果也可能是绿色的。根据Joey的判断，得到的结果如下图所示：
上图中蓝色区域的图片一样代表分类错误，根据苹果是绿色的条件，使得图中蓝色区域都出现了判断错误。同样把这些分类错误的样本放大化，其它正确的样本缩小化，在下一轮判断继续对其修正。
后来，学生Jessica又发现：上面有梗的才是苹果。得到如下结果：
经过这几个同学的推论，苹果被定义为：圆的，红色的，也可能是绿色的，上面有梗。从一个一个的推导过程中，我们似乎得到一个较为准确的苹果的定义。虽然可能不是非常准确，但是要比单一的条件要好得多。也就是说把所有学生对苹果的定义融合起来，最终得到一个比较好的对苹果的总体定义。这种做法就是我们本节课将要讨论的演算法。这些学生代表的就是简单的hypotheses gtgt，将所有gtgt融合，得到很好的预测模型G。例如，二维平面上简单的hypotheses（水平线和垂直线），这些简单gtgt最终组成的较复杂的分类线能够较好地将正负样本完全分开，即得到了好的预测模型。
所以，上个苹果的例子中，不同的学生代表不同的hypotheses gt；最终得到的苹果总体定义就代表hypothesis G；而老师就代表演算法A，指导学生的注意力集中到关键的例子中（错误样本），从而得到更好的苹果定义。其中的数学原理，我们下一部分详细介绍。
2 Diversity by Re-weighting
这种算法叫做Weightd Base Algorithm，目的就是最小化bootstrap-weighted error。
其实，这种weightd base algorithm我们之前就介绍过类似的算法形式。例如在soft-margin SVM中，我们引入允许犯错的项，同样可以将每个点的error乘以权重因子un。加上该项前的参数C，经过QP，最终得到0≤αn≤Cun，有别于之前介绍的0≤αn≤C。这里的un相当于每个犯错的样本的惩罚因子，并会反映到αn的范围限定上。
同样在logistic regression中，同样可以对每个犯错误的样本乘以相应的un，作为惩罚因子。un表示该错误点出现的次数，un越大，则对应的惩罚因子越大，则在最小化error时就应该更加重视这些点。
其实这种example-weighted learning，我们在机器学习基石课程第8次笔记中就介绍过class-weighted的思想。二者道理是相通的。
知道了u的概念后，我们知道不同的u组合经过base algorithm得到不同的gt。那么如何选取u，使得到的gt之间有很大的不同呢？之所以要让所有的gt差别很大，是因为上节课aggregation中，我们介绍过gt越不一样，其aggregation的效果越好，即每个人的意见越不相同，越能运用集体的智慧，得到好的预测模型。
为了得到不同的gt，我们先来看看gt和g(t+1)是怎么得到的：
乍看上面这个式子，似乎不好求解。但是，我们对它做一些等价处理，其中分式中分子可以看成gt作用下犯错误的点，而分母可以看成犯错的点和没有犯错误的点的集合，即所有样本点。其中犯错误的点和没有犯错误的点分别用橘色方块和绿色圆圈表示：
3 Adaptive Boosting Algorithm
但是，上述步骤还有两个问题没有解决，第一个问题是初始的u应为多少呢？一般来说，为了保证第一次Ein最小的话，设u=1/N即可。这样最开始的g就能由此推导。第二个问题，最终的G(x)应该怎么求？是将所有的g(t)合并uniform在一起吗？一般来说并不是这样直接uniform求解，因为g(t+1)是通过gt得来的，二者在Ein上的表现差别比较大。所以，一般是对所有的g(t)进行linear或者non-linear组合来得到G(t)。
接下来的内容，我们将对上面的第二个问题进行探讨，研究一种算法，将所有的gt进行linear组合。方法是计算gt的同时，就能计算得到其线性组合系数αt，即aggregate linearly on the fly。这种算法使最终求得g(t+1)的时候，所有gt的线性组合系数α也求得了，不用再重新计算α了。这种Linear Aggregation on the Fly算法流程为：
如何在每次迭代的时候计算αt呢？我们知道αt与ϵt是相关的：ϵt越小，对应的αt应该越大，ϵt越大，对应的αt应该越小。又因为⋄t与ϵt是正相关的，所以，αt应该是⋄t的单调函数。我们构造αt为：
αt这样取值是有物理意义的，例如当ϵt=1/2时，error很大，跟掷骰子这样的随机过程没什么两样，此时对应的⋄t=1，αt=0，即此gt对G没有什么贡献，权重应该设为零。而当ϵt=0时，没有error，表示该gt预测非常准，此时对应的⋄t=∞，αt=∞，即此gt对G贡献非常大，权重应该设为无穷大。
这种算法被称为Adaptive Boosting。它由三部分构成：base learning algorithm A，re-weighting factor ⋄t和linear aggregation αt。这三部分分别对应于我们在本节课开始介绍的例子中的Student，Teacher和Class。
对这个VC bound中的第一项Ein(G)来说，有一个很好的性质：如果满足ϵt≤ϵ<1/2，则经过T=O(log N)次迭代之后，Ein(G)能减小到等于零的程度。而当N很大的时候，其中第二项也能变得很小。因为这两项都能变得很小，那么整个Eout(G)就能被限定在一个有限的上界中。
其实，这种性质也正是AdaBoost算法的精髓所在。只要每次的ϵt≤ϵ<1/2，即所选择的矩g比乱猜的表现好一点点，那么经过每次迭代之后，矩g的表现都会比原来更好一些，逐渐变强，最终得到Ein=0且Eout很小。
4 Adaptive Boosting in Action
上一小节我们已经介绍了选择一个“弱弱”的算法A（ϵt≤ϵ<1/2，比乱猜好就行），就能经过多次迭代得到Ein=0。我们称这种形式为decision stump模型。下面介绍一个例子，来看看AdaBoost是如何使用decision stump解决实际问题的。
如下图所示，二维平面上分布一些正负样本点，利用decision stump来做切割。
另外一个例子，对于一个相对比较复杂的数据集，如下图所示。它的分界线从视觉上看应该是一个sin波的形式。如果我们再使用AdaBoost算法，通过decision stump来做切割。在迭代切割100次后，得到的分界线如下所示。
可以看出，AdaBoost-Stump这种非线性模型得到的分界线对正负样本有较好的分离效果。
课程中还介绍了一个AdaBoost-Stump在人脸识别方面的应用：
5 Summary
本节课主要介绍了Adaptive Boosting。首先通过讲一个老师教小学生识别苹果的例子，来引入Boosting的思想，即把许多“弱弱”的hypotheses合并起来，变成很强的预测模型。然后重点介绍这种算法如何实现，关键在于每次迭代时，给予样本不同的系数u，宗旨是放大错误样本，缩小正确样本，得到不同的小矩g。并且在每次迭代时根据错误ϵ值的大小，给予不同gt不同的权重。最终由不同的gt进行组合得到整体的预测模型G。实际证明，Adaptive Boosting能够得到有效的预测模型。
