[较难]LeetCode-4.寻找两个正序数组的中位数 利用数组扩充和二分法切割思想实现

当我看到题目时，首先想到最简单粗暴的方法是合并数组然后进行排序，但是这样最快也只能达到O(m+n)的级别，不符合题目要求。参考大神的题解后，写一些我的感想。

首先利用数组扩充的思想，将两个数组的和变成偶数，这样方便统一处理。例如，传入的数组为：

nums1:[5,9,10]
nums2:[2,6]

这样两个数组的和是奇数个，我们排好序试试：2,5,6,9,10

这样我们一眼就可以看出来中位数是6，但是对于偶数个的数组计算方法又不一样了。因此，可以把两个数组都变成奇数个，相加后就是偶数个，然后再去求中位数：

#2#5#6#9#10#

想象一下如果数组间存在这些#号，那么不管什么数组一定是奇数个。

在此基础上，我们利用二分法对传入的两个数组进行切割

对nums1来说，在切割时切到了9，因此可以看成：5, 9/9 ,10
对nums2来说，在切割时刚好把两个数分开：2 / 6

做出定义：
LMax1为nums1左侧的最大元素，RMin1为nums1右侧的最小元素
LMax2为nums2左侧的最大元素，RMin2为nums2右侧的最小元素

可以得知目前 LMax1=9 , RMin1=9 , LMax2=2, RMin2 = 6
LMax1≤RMin1 , LMax2≤RMin2 必定成立（题目说明是从小到大排序）

只要满足LMax1≤RMin2， LMax2≤RMin1，我们就可以使用下列公式获得中位数

max(LMax1, LMax2) + min(RMin1, RMin2)) / 2

接下来看看代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

/**
 * LeetCode
 * 4. 寻找两个正序数组的中位数
 * https://leetcode-cn.com/u/banana798/
 */

#define max(a,b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))
#define min(a,b) (((a) < (b)) ? (a) : (b))

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n = nums1.size();
        int m = nums2.size();

        if (n > m)  //保证数组1一定最短,这样二分效率最高
        {
            return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        }

        // Ci 为第i个数组的割,比如C1为2时表示第1个数组只有2个元素。LMaxi为第i个数组割后的左元素。RMini为第i个数组割后的右元素。
        int LMax1, LMax2, RMin1, RMin2, c1, c2, lo = 0, hi = 2 * n;  //我们目前是虚拟加了'#'所以数组1是2*n长度

        while (lo <= hi)   //二分
        {
            c1 = (lo + hi) / 2;  //c1是二分的结果
            //这里C2怎么推导呢，我们可以知道改良后的数组有2m+1+2n+1=2m+2n+2个元素，为偶数个
            //两个基数数组进行切割时会把一个元素切割开，变成2个（切2个变4个，相当于多了2个），因此切割后总数其实是2m+2n+4
            //切割后左边元素整体为c1+1+c2+1
            //则有2m+2n+4-(c1+1+c2+1) = c1+1+c2+1 可推出c2
            c2 = m + n - c1;

            LMax1 = (c1 == 0) ? INT_MIN : nums1[(c1 - 1) / 2];
            RMin1 = (c1 == 2 * n) ? INT_MAX : nums1[c1 / 2];
            LMax2 = (c2 == 0) ? INT_MIN : nums2[(c2 - 1) / 2];
            RMin2 = (c2 == 2 * m) ? INT_MAX : nums2[c2 / 2];

            if (LMax1 > RMin2)
                hi = c1 - 1;
            else if (LMax2 > RMin1)
                lo = c1 + 1;
            else
                break;
        }
        return (max(LMax1, LMax2) + min(RMin1, RMin2)) / 2.0;
    }
};


int main()
{
    // [#5#9#10#]
    vector<int> nums1 = {5,9,10};
    // [#2#6#]
    vector<int> nums2 = {2,6};

    Solution solution;
    cout << solution.findMedianSortedArrays(nums1, nums2);
    return 0;
}

这个方案的难点：

1. 要清楚数组个数转换为偶数个后如何映射到原数组（即映射关系）
2. 代码中我详细写了c2变量的推导过程，这个一开始我也没理解

总的来说，这个题很值得我们去研究，如果题目没有要求时间复杂度的话我也不知道还有这种算法。