Matlab随笔之插值与拟合(上)

简介: 原文:Matlab随笔之插值与拟合(上)1、拉格朗日插值 新建如下函数: function y=lagrange(x0,y0,x) %拉格朗日插值函数 %n 个节点数据以数组 x0, y0 输入(注意 Matlat 的数组下标从1开始), %m 个插值点以数组 x 输入,输出数...
原文: Matlab随笔之插值与拟合(上)

1、拉格朗日插值

新建如下函数:

function y=lagrange(x0,y0,x) 
%拉格朗日插值函数 
%n 个节点数据以数组 x0, y0 输入(注意 Matlat 的数组下标从1开始), 
%m 个插值点以数组 x 输入,输出数组 y 为 m 个插值 
n=length(x0);m=length(x); 
for i=1:m 
z=x(i); 
s=0.0; 
for k=1:n 
      p=1.0; 
      for j=1:n 
           if j~=k 
              p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); 
           end 
      end 
      s=p*y0(k)+s; 
end 
y(i)=s; 
end

应用实例:

x0=1:1:20; 
y0=x0.^2-20*x0-5; 
x=1:0.1:20; 
z=lagrange(x0,y0,x); 
plot(x,z,':',x0,y0,'ko');

运行结果:

image

2、分段线性插值

MATLAB现成的插值函数为interp1,其调用格式为:  yi= interp1(x,y,xi,'method')

其中x,y为插值点,yi为在被插值点xi处的插值结果;x,y为向量, 'method'表示采用的插值方法,包括:
'method':是最近项插值;                                                              'linear':线性插值;(默认)

'spline':逐段3次样条插值; (下面的三次样条插值会用到)             'cubic':保凹凸性3次插值

'pchip':分段三次Hermite 插值。

例如:在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为
            12,9,9,1,0,18 ,24,28,27,25,20,18,15,13,
推测中午12点(即13点)时的温度.

x=0:2:24; 
y=[12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13]; 
x1=0:0.5:24; 
y1=interp1(x,y,x1,'linear'); 
plot(x,y,'bo',x1,y1,'r:');

运行结果:

image

3、埃尔米特插值

如果要求插值函数不仅在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至高阶导数值,这就是埃尔米特插值问题。

已知f(x)的n+1个节点的函数值f(xi)以及导数值f`(xi),可得一个至多n+1次的多项式H(x),即hermite插值多项式。

新建以下这个函数:

function y = hermite( x0,y0,y1,x ) 
%埃尔米特插值多项式 
%x0为点横坐标 
%y0为函数值 
%y1为导数值 
%m个插值点用数组x输入 
n=length(x0);m=length(x); 
for k=1:m 
    yy=0.0; 
    for i=1:n 
     h=1.0; 
     a=0.0; 
      for j=1:n 
         if j~=i 
           h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2; 
           a=1/(x0(i)-x0(j))+a; 
         end 
      end 
      yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i)); 
end 
y(k)=yy; 
end

4、样条插值

所谓样条( Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线),并使连接点处有连续的曲率。

数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。

在实际中最常用的是二次样条函数和三次样条函数:

二次样条函数插值

image
首先,我们注意到s2 (x)中含有 n + 2 个特定常数,故应需要 n + 2 个插值条件,因此,二次样条插值问题可分为两类:

(1)已知插值节点xi 和相应的函数值 yi (i = 0,1,…,n) 以及端点 x0 (或 xn )处的导数值y'0(或y'n)

(2)已知插值节点xi 和相应的导数值 y'i (i = 0,1,…,n) 以及端点 x0 (或 xn )处的函数值y0 (或yn

三次样条函数插值

image

由于 s3 (x)中含有n + 3 个待定系数,故应需要 n + 3 个插值条件,已知插值节点xi 和相应的函数值 f(xi ) = yi (i = 0,1,…,n) ,这里提供了 n + 1 个条件,还需要 2 个边界条件。因此,三次样条插值问题可分为三类:

(1)s'3 (a) = y'0 ,s'3 (b) = y'n 。由这种边界条件建立的样条插值函数称为 f(x) 的完备三次样条插值函数。
特别地,y0' = yn`= 0时,样条曲线在端点处呈水平状态。
如果 f' (x) 不知道,我们可以要求 s'3 (x) 与 f' (x) 在端点处近似相等。这时以x0 , x1 , x2 , x3 为节点作一个三次 Newton 插值多项式 Na (x) ,以 xn, xn−1, xn−2, xn−3 作一个三次 Newton 插值多项式 Nb (x) ,要求s' (a) = N'a (a), s' (b) = N'b (b)
由这种边界条件建立的三次样条称为 f(x) 的 Lagrange 三次样条插值函数。

(2)s"3 (a) = y"0 ,s"3 (b) = y"3 。特别地 y"n = y"n = 0 时,称为自然边界条件。

(3)s'3 ( a + 0) = s'3 ( b − 0), s"3 (a + 0) = s"3 (b − 0) , (这里要求 s3 (a + 0) =s3 (b − 0) )此条件称为周期条件。

Matlab实现(三次样条插值)

Matlab中的函数:

1、y=interp1(x0,y0,x,`spline`);%(spline改成linear,则变成线性插值)

2、y=spline(x0,y0,xi);%这个是根据己知的x,y数据,用样条函数插值出xi处的值。即由x,y的值计算出xi对应的函数值。

3、pp=spline(x0,y0);%是由根据己知的x,y数据,求出它的样条函数表达式,不过该表达式不是用矩阵直接表示,要求点x`的值,要用函数y`=ppval(pp,x`);

4、pp=csape(x,y,'变界类型','边界值conds');生成各种边界条件的三次样条插值. 其中,(x,y)为数据向量,边界类型可为:

             'complete':给定边界一阶导数,即默认的边界条件,Lagrange边界条件
             'not-a-knot':非扭结条件,不用给边界值.
             'periodic':周期性边界条件,不用给边界值.
             'second':给定边界二阶导数. 
             'variational':自然样条(边界二阶导数为[0,0]

     边界值conds可用1x2矩阵表示,矩阵元素取值为1,2,此时,使用命令
pp=csape(x0,y0_ext,conds)
其中 y0_ext=[left, y0, right],这里 left 表示左边界的取值, right 表示右边界的取值。
conds(i)=j 的含义是给定端点 i j 阶导数, 即 conds 的第一个元素表示左边界的条
件,第二个元素表示右边界的条件, conds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶
导数,对应的值由 left 和 right 给出。

例子:

表 1
0  3      5   7     9  11  12  13  14  15
0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
要求用 Lagrange、分段线性和三次样条三种插值方法计算。

编程实现:

clear,clc 
x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; 
y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; 
t=0:0.05:15; 
%拉格朗日插值函数 
y1=lagrange(x0,y0,t);%调用编写的lagrange函数 
dy1=(lagrange(x0,y0,0.0001)-lagrange(x0,y0,0))/0.0001%x=0处斜率 
min1=min(lagrange(x0,y0,13:0.001:15))%13到15最小值 
subplot(2,2,1); 
plot(x0,y0,'ro',t,y1);%画出曲线 
title('拉格朗日插值函数'); 
%分段线性插值 
y2=interp1(x0,y0,t,'spline');%注意区分spline与linear 
Y2=interp1(x0,y0,t);%默认linear 
dy2=(interp1(x0,y0,0.0001,'spline')-interp1(x0,y0,0,'spline'))/0.0001%x=0处斜率 
min2=min(interp1(x0,y0,13:0.001:15,'spline'))%13到15最小值 
subplot(2,2,2); 
plot(t,y2,'b',t,Y2,'r',x0,y0,'ro');%画出曲线 
title('分段线性插值'); 
legend('边条','线性');%显示图形图例 
%三次线条插值A 
y3=spline(x0,y0,t); 
dy3=(spline(x0,y0,0.0001)-spline(x0,y0,0))/0.0001%x=0处斜率 
min3=min(spline(x0,y0,13:0.001:15))%13到15最小值 
subplot(2,2,3); 
plot(x0,y0,'ro',t,y3);%画出曲线 
title('三次线条插值A'); 
%三次线条插值B 
pp1=csape(x0,y0);%默认的边界条件,即给定边界一阶导数 
pp2=csape(x0,y0,'second');%给定边界二阶导数 
y4=ppval(pp1,t); 
Y4=ppval(pp2,t); 
dy4=(ppval(pp1,0.0001)-ppval(pp1,0))/0.0001%x=0处斜率 
min4=min(ppval(pp1,13:0.001:15))%13到15最小值 
subplot(2,2,4); 
plot(t,y4,'b',t,Y4,'r',x0,y0,'ro');%画出曲线 
title('三次线条插值B'); 
legend('一阶','二阶');

运行结果:

image

dy1 =

  -55.2855


min1 =

    0.9391


dy2 =

    0.5023


min2 =

    0.9828


dy3 =

    0.5023


min3 =

    0.9828


dy4 =

    0.5007


min4 =

    0.9851

综上,可以看出,拉格朗日插值函数根本不能应用,分段线性函数的光滑性较差,推荐三次样条插值。

同时,可以看出,interp1(x0,y0,’spline’)等价于spline(x0,y0)。

最后,将上述所有情况封装起来,变成下列函数:

function y = showAllInterp( x0,y0,s,t)
%显示x0,y0之间所有不同类型的插值情况
%字符串s选择要输出的插值类型:
%all:全部类型           lagrange:拉格朗日插值函数
%linear:分段线性插值    spline:三次线条插值A
%csape:三次线条插值B
if(nargin<4)
    t=linspace(x0(1),x0(length(x0)),500);%默认
end
switch s
    case 'lagrange' %拉格朗日插值函数
        y1=lagrange(x0,y0,t);%调用编写的lagrange函数
        plot(x0,y0,'ro',t,y1);%画出曲线
        title('拉格朗日插值函数');
        if(nargout==1)
            y=y1;
        end
    case 'linear' %分段线性插值
        y2=interp1(x0,y0,t);%默认linear 
        plot(x0,y0,'ro',t,y2,'b');%画出曲线
        title('分段线性插值');
        if(nargout==1)
            y=y2;
        end
    case 'spline' %三次线条插值A
        y3=spline(x0,y0,t); %等价于interp1(x0,y0,t,'spline');
        plot(x0,y0,'ro',t,y3);%画出曲线 
        title('三次线条插值A'); 
        if(nargout==1)
            y=y3;
        end
    case 'csape' %三次线条插值B
        pp1=csape(x0,y0);%默认的边界条件,即给定边界一阶导数 
        pp2=csape(x0,y0,'second');%给定边界二阶导数 
        y4=ppval(pp1,t); 
        Y4=ppval(pp2,t); 
        plot(t,y4,'b',t,Y4,'r',x0,y0,'ro');%画出曲线
        title('三次线条插值B');
        legend('一阶','二阶');
        if(nargout==1)
            y=y4;
        end
    case 'all' %显示全部
        y1=lagrange(x0,y0,t);%调用编写的lagrange函数
        subplot(2,2,1);
        plot(x0,y0,'ro',t,y1);%画出曲线
        title('拉格朗日插值函数');
        
        y2=interp1(x0,y0,t);%默认linear 
        subplot(2,2,2);
        plot(x0,y0,'ro',t,y2);%画出曲线
        title('分段线性插值');
            
        y3=spline(x0,y0,t); %等价于interp1(x0,y0,t,'spline');
        subplot(2,2,3);
        plot(x0,y0,'ro',t,y3);%画出曲线 
        title('三次线条插值A');

        pp1=csape(x0,y0);%默认的边界条件,即给定边界一阶导数 
        pp2=csape(x0,y0,'second');%给定边界二阶导数 
        y4=ppval(pp1,t); 
        Y4=ppval(pp2,t);
        subplot(2,2,4);
        plot(t,y4,'b',t,Y4,'r',x0,y0,'ro');%画出曲线
        title('三次线条插值B');
        legend('一阶','二阶');
end

 

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