一直知道Matlab的优化工具箱，可是一直都没有学习，Matlab提供的功能主要有线性规划、非线性规划、极值问题等，这些也是比较常见的优化问题。
优化工具箱概述
1.MATLAB求解优化问题的主要函数
2.优化函数的输入变量
使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时, 输入变量见下表:
3. 优化函数的输出变量下表:
4．控制参数options的设置
Options中常用的几个参数的名称、含义、取值如下:
(1) Display: 显示水平.取值为’off’时,不显示输出; 取值为’iter’时,显示每次迭代的信息;取值为’final’时,显示最终结果.默认值为’final’.
(2) MaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数,取值为正整数.
(3) MaxIter: 允许进行迭代的最大次数,取值为正整数
控制参数options可以通过函数optimset创建或修改。命令的格式如下：
(1) options=optimset(‘optimfun’)
创建一个含有所有参数名,并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构options.
（2）options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,...)
创建一个名称为options的优化选项参数,其中指定的参数具有指定值,所有未指定的参数取默认值.
(3)options=optimset(oldops,‘param1’,value1,’param2’,
value2,...)
创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops中相应的参数.
例：opts=optimset(‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8)
该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设为’iter’, TolFun参数设为1e-8.
用Matlab解无约束优化问题
一元函数无约束优化问题
常用格式如下：
（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)
（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
（3）[x，fval]= fminbnd（...）
（4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（...）
（5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（...）
其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。
例1 求
在0<x<8中的最小值与最大值
主程序为wliti1.m:
f='2*exp(-x).*sin(x)';
fplot(f,[0,8]); %作图语句
[xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)
f1='-2*exp(-x).*sin(x)';
[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
运行结果：
xmin = 3.9270 ymin = -0.0279
xmax = 0.7854 ymax = 0.6448
例2 对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
先编写M文件fun0.m如下:
function f=fun0(x)
f=-(3-2*x).^2*x;
主程序为wliti2.m:
[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);
xmax=x
fmax=-fval
运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.
2、多元函数无约束优化问题
标准型为：min F(X)
命令格式为:
（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ）
（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；
或x=fminsearch（fun,X0 ，options）
（3）[x，fval]= fminunc（...）；
或[x，fval]= fminsearch（...）
（4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch
（5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）
说明:
• fminsearch是用单纯形法寻优. fminunc的算法见以下几点说明：
[1] fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制：
LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法
LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法
[2] fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由
options中的参数HessUpdate控制：
HessUpdate=’bfgs’（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；
HessUpdate=’dfp’，拟牛顿法的DFP公式；
HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法
[3] fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法， 由options中参数LineSearchType控制：
LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三次多项式插值；
LineSearchType=’cubicpoly’，三次多项式插
• 使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解.
例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)
1、编写M-文件 fun1.m:
function f = fun1 (x)
f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
2、输入M文件wliti3.m如下:
x0 = [-1, 1];
x=fminunc(‘fun1’,x0);
y=fun1(x)
3、运行结果:
x= 0.5000 -1.0000
y = 1.3029e-10
例4 Rosenbrock 函数 f（x1，x2）=100（x2-x12）2+(1-x1)2
的最优解（极小）为x*=（1，1），极小值为f*=0.试用
不同算法（搜索方向和步长搜索）求数值最优解.
初值选为x0=（-1.2 , 2）.
1.为获得直观认识，先画出Rosenbrock 函数的三维图形,
输入以下命令：
[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-1:0.1:3);
z=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;
mesh(x,y,z)
2. 画出Rosenbrock 函数的等高线图,输入命令：
contour(x,y,z,20)
hold on
plot(-1.2,2,' o ');
text(-1.2,2,'start point')
plot(1,1,'o')
text(1,1,'solution')
3.用fminsearch函数求解
输入命令:
f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f, [-1.2 2])
运行结果:
x =1.0000 1.0000
fval =1.9151e-010
exitflag = 1
output =
iterations: 108
funcCount: 202
algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search'
4. 用fminunc 函数
(1)建立M-文件fun2.m
function f=fun2(x)
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2
(2)主程序wliti44.m
Rosenbrock函数不同算法的计算结果
可以看出，最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况.
例5 产销量的最佳安排
某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.
符号说明
z(x1,x2)表示总利润；
p1，q1，x1分别表示甲的价格、成本、销量；
p2，q2，x2分别表示乙的价格、成本、销量；
aij，bi，λi,ci（i，j =1，2）是待定系数.
基本假设
1．价格与销量成线性关系
利润既取决于销量和价格，也依赖于产量和成本。按照市场规律，
甲的价格p1会随其销量x1的增长而降低，同时乙的销量x2的增长也
会使甲的价格有稍微的下降，可以简单地假设价格与销量成线性关系，
即： p1 = b1 - a11 x1 - a12 x2 ，b1，a11，a12 > 0，且a11 > a12；
同理， p2 = b2 - a21 x1- a22 x2 ，b2，a21，a22 > 0
2．成本与产量成负指数关系
甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为
负指数关系,即:
同理， 
模型建立
总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2
若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,
a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,则
问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使
总利润z最大.
为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:
z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2
的极值. 显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,
我们把它作为原问题的初始值.
模型求解
1.建立M-文件fun.m:
function f = fun(x)
y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1);
y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2);
f=-y1-y2;
2.输入命令:
x0=[50,70];
x=fminunc(‘fun’,x0),
z=fun(x)
3.计算结果:
x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003
即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.
二次规划
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用MATLAB软件求解,其输入格式如下:
1. x=quadprog(H,C,A,b);
2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);
3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);
4. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);
5. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options);
6. [x,fval]=quaprog(...);
7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...);
8. [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);
例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22
s.t. x1+x2≤2
-x1+2x2≤2
x1≥0, x2≥0
1、写成标准形式：
2、 输入命令：
H=[1 -1; -1 2];
c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2];
Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[];
[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
3、运算结果为：
x =0.6667 1.3333 z = -8.2222
一般非线性规划
标准型为：
min F(X)
s.t AX<=b 
G(X)
Ceq(X)=0 VLB
X
VUB
其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题，基本步骤分三步：
1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）:
function f=fun(X);
f=F(X);
2. 若约束条件中有非线性约束:G(X)
或Ceq(X)=0,则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X):
function [G,Ceq]=nonlcon(X)
G=...
Ceq=...
3. 建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下：
(1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)
(2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)
(3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)
(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
(6) [x,fval]= fmincon(...)
(7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...)
(8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(...)
注意：
[1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。
[2] fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。
[3] fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。
例2 
s.t.
2、先建立M-文件 fun3.m:
function f=fun3(x);
f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2
3、再建立主程序youh2.m：
x0=[1;1];
A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5];
Aeq=[];beq=[];
VLB=[0;0]; VUB=[];
[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
4、运算结果为：
x = 0.7647 1.0588
fval = -2.0294
例3
1．先建立M文件 fun4.m,定义目标函数:
function f=fun4(x);
f=exp(x(1))
*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
2．再建立M文件mycon.m定义非线性约束：
function [g,ceq]=mycon(x)
g=[x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];
3．主程序youh3.m为:
x0=[-1;1];
A=[];b=[];
Aeq=[1 1];beq=[0];
vlb=[];vub=[];
[x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon')
3. 运算结果为：
x = -1.2250 1.2250
fval = 1.8951
例4．资金使用问题
设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x万元, 则可得效益
万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行, 年利率为10%. 试制定出资金的使用计划, 以使4年效益之和为最大.
设变量
表示第i年所使用的资金数,则有
1．先建立M文件 fun44.m,定义目标函数:
function f=fun44(x)
f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));
2．再建立M文件mycon1.m定义非线性约束：
function [g,ceq]=mycon1(x)
g(1)=x(1)-400;
g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;
g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;
g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;
ceq=0
3．主程序youh4.m为:
x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];
[x,fval]=fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1')
得到 
线性规划问题
线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MATLAB6.0 解决的线性规划问题的标准形式为：
min f(x)
sub.to：
x A ≤b ⋅ x Aeq = beq⋅ ub≤ x≤ lb
其中 f、x、b、beq、lb、ub 为向量，A、Aeq 为矩阵。 其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %设置初值 x0
“半无限”有约束的多元函数最优解
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon)
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b)
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq)
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)
[x,fval] = fseminf(⋯)
[x,fval,exitflag] = fseminf(⋯)
[x,fval,exitflag,output] = fseminf(⋯)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = fseminf(⋯)
极小化极大问题
例子：
最小二乘最优问题
约束线性最小二乘
非线性数据拟合
非线性最小二乘
非负线性最小二乘
非线性方程的解
非线性方程的标准形式为 f(x)=0
函数 fzero
格式 x = fzero (fun,x0) %用 fun 定义表达式 f(x)，x0 为初始解。
x = fzero (fun,x0,options)
[x,fval] = fzero(⋯) %fval=f(x)
[x,fval,exitflag] = fzero(⋯)
[x,fval,exitflag,output] = fzero(⋯)
说明 该函数采用数值解求方程 f(x)=0 的根。
非线性方程组的解
非线性方程组的标准形式为：F(x) = 0
其中：x 为向量，F(x)为函数向量。
函数 fsolve
格式 x = fsolve(fun,x0) %用 fun 定义向量函数，其定义方式为：先定义方程函数
function F = myfun (x)。
F =[表达式 1；表达式 2；⋯表达式 m] %保存为 myfun.m，并用下面方式调用：
x = fsolve(@myfun,x0)，x0 为初始估计值。
x = fsolve(fun,x0,options)
[x,fval] = fsolve(⋯) %fval=F(x)，即函数值向量
[x,fval,exitflag] = fsolve(⋯)
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(⋯)
[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(⋯) % jacobian 为解 x 处的 Jacobian 阵。
本文转自feisky博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/feisky/archive/2009/10/24/1589260.html，如需转载请自行联系原作者
