一般矩阵乘法算法：
原理：矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的栏数（column）和第二个矩阵的列数（row）相同时才有定义。一般单指矩阵 乘积时，指的便是一般矩阵乘积。若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则他们的乘积AB会是一个m×p矩阵。其乘积矩阵的元素如下面式子得出：
代码如下：
struct mat{ int n, m; double data[MAXN][MAXN]; }; int mul(mat& c, const mat& a, const mat& b){ int i, j, k; if (a.m != b.n) return 0; c.n = a.n; c.m = b.m; for (i = 0; i < c.n; i++) for (j = 0; j < c.m; j++) for (c.data[i][j] = k = 0; k < a.m; k++) c.data[i][j] += a.data[i][k] * b.data[k][j]; return 1; }
时间复杂度：O(n3)
传统分治方法：
C = AB
将A, B, C分成相等大小的方块矩阵：
C11=A11B11+A12B21 (2)
C12=A11B12+A12B22 (3)
C21=A21B11+A22B21 (4)
C22=A21B12+A22B22 (5)
如果n=2，则2个2阶方阵的乘积可以直接用(2)-(5)式计算出来，共需8次乘法和4次加法。当子矩阵的阶大于2时，为求2个子矩阵的积，可以继续 将子矩阵分块，直到子矩阵的阶降为2。这样，就产生了一个分治降阶的递归算法。依此算法，计算2个n阶方阵的乘积转化为计算8个n/2阶方阵的乘积和4个 n/2阶方阵的加法。2个n/2×n/2矩阵的加法显然可以在c*n2/4时间内完成，这里c是一个常数。因此，上述分治法的计算时间耗费T(n)应该满 足：
T(2) = b
T(n) = 8T(n / 2) + cn2 (n > 2)
由上式可知：分治法的运用，方阵的乘法的算法效率并没有提高！
分治法的设计思想：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的 排。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时序问题，当n=1时，不需任何计算只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要 想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1.可缩性。问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
2.最有子结构性。问题可以分解为若干个规模较小的相同问题；
3.可合性。利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4.独立性。该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问 题之间不包含公共的子子问题。
分治思想与递归就像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计中，并由此产生高效的算法！
Strassen算法
传统方法2个2阶方阵相乘需要8次乘法。按照上述分治法的思想可以看出，要想减少乘法运算次数，关键在于计算2个2阶方阵的乘积时，能否用少于8次的乘法运算。Strassen提出了一种新的算法来计算2个2阶方阵的乘积。他的算法只用了7次乘法运算，但增加了加、减法的运算次数。这7次乘法是:
M1=A11(B12-B22)
M2=(A11+A12)B22
M3=(A21+A22)B11
M4=A22(B21-B11)
M5=(A11+A22)(B11+B22)
M6=(A12-A22)(B21+B22)
M7=(A11-A21)(B11+B12)
做了7次乘法后，再做若干次加、减法：
C11=M5+M4-M2+M6
C12=M1+M2
C21=M3+M4
C22=M5+M1-M3-M7
算法效率分析:
Strassen矩阵乘积分治算法中，用了7次对于n/2阶矩阵乘积的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算。由此可知，该算法的所需的计算时间T(n)满足如下的递归方程:
T(2) = b
T(n) = 7T(n / 2) + cn2 (n > 2)
按照解递归方程的套用公式法，其解为T(n)=O(nlog7)≈O(n2.81)。由此可见，Strassen矩阵乘法的计算时间复杂性比普通矩阵乘法有阶的改进。
数据的存储结构：
二维数组（弊端：必须宏定义一常量N）
二重指针 （摆脱宏定义的限制，但程序变得繁琐）
原始矩阵:
A,B,C(C=AB)
分块矩阵：
A11，A12，A21，A22(对方阵A分成四块)
B11，B12，B21，B22(对方阵B分成四块)
七块关键阵：
M1，M2，M3，M4，M5，M6，M7
中间方阵：
AA，BB(计算加法时作一个桥梁)
二级指针定义说明：
int **c; c = (int**)malloc(n * sizeof(int)); for(int i = 0; i < n; i++) c[i] = (int *)malloc(n * sizeof(int));
//矩阵加法： void add(int n, int A[][N], int B[][N], int R[][N]) { int i, j; for(i = 0; i < n; i++) for(j = 0; j < n; j++) R[i][j] = A[i][j] + B[i][j]; }
//矩阵减法： void sub(int n,int A[][N],int B[][N],int R[][N]) { int i,j; for(i = 0; i < n; i++) for(j = 0; j < n; j++) R[i][j] = A[i][j] - B[i][j]; }
//阶为2的方阵相乘： void multiply(int A[][N],int B[][N],int R[][N]) { int M1 = A[0][1] * (B[0][1] - B[1][1]); int M2 = (A[0][0] + A[0][1]) * B[1][1]; int M3 = (A[1][0] + A[1][1]) * B[0][0]; int M4 = A[1][1] * (B[1][0] - B[0][0]); int M5 = (A[0][0] + A[1][1]) * (B[0][0] + B[1][1]); int M6 = (A[0][1] - A[1][1]) * (B[1][0] + B[1][1]); int M7 = (A[0][0] - A[1][0]) * (B[0][0] + B[0][1]); R[0][0] = M5 + M4 - M2 + M6; R[0][1] = M1 + M2; R[1][0] = M3 + M4; R[1][1] = M5 + M1 - M3 - M7; }
//分块函数 void divide(int A[][N], int n, int X11[][N], int X12[][N], int X21[][N], int X22[][N] ) { int i, j; for(i = 0; i < (n / 2); i++) for(j = 0; j < (n / 2); j++) { X11[i][j] = A[i][j]; X12[i][j] = A[i][j + (n / 2)]; X21[i][j] = A[i + (n / 2)][j]; X22[i][j] = A[i + (n / 2)][j + (n / 2)]; } }
#include<stdio.h> #include<math.h> #define N 4 //二阶矩阵相乘 void Matrix_Multiply(int A[][N], int B[][N], int C[][N]) { for(int i = 0; i < 2; i++) { for(int j = 0; j < 2; j++) { C[i][j] = 0; for(int t = 0; t < 2; t++) { C[i][j] = C[i][j] + A[i][t] * B[t][j]; } } } } //矩阵加法： void add(int n, int A[][N], int B[][N], int R[][N]) { int i, j; for(i = 0; i < n; i++) for(j = 0; j < n; j++) R[i][j] = A[i][j] + B[i][j]; } //矩阵减法： void sub(int n, int A[][N], int B[][N], int R[][N]) { int i,j; for(i = 0; i < n; i++) for(j = 0; j < n; j++) R[i][j] = A[i][j] - B[i][j]; } void strassen(int n, int A[][N], int B[][N], int C[][N]) { int i, j; int A11[N][N], A12[N][N], A21[N][N], A22[N][N]; int B11[N][N], B12[N][N], B21[N][N], B22[N][N]; int C11[N][N], C12[N][N], C21[N][N], C22[N][N]; int AA[N][N], BB[N][N]; int M1[N][N], M2[N][N], M3[N][N], M4[N][N], M5[N][N], M6[N][N], M7[N][N]; if(n == 2) { Matrix_Multiply(A, B, C); } else { for(i = 0; i < n / 2; i++) { for(j = 0; j < n / 2; j++) { A11[i][j] = A[i][j]; A12[i][j] = A[i][j + n / 2]; A21[i][j] = A[i + n / 2][j]; A22[i][j] = A[i + n / 2][j + n / 2]; B11[i][j] = B[i][j]; B12[i][j] = B[i][j + n / 2]; B21[i][j] = B[i + n /2][j]; B22[i][j] = B[i + n /2][j + n / 2]; } } sub(n / 2, B12, B22, BB); strassen(n / 2, A11, BB, M1); add(n / 2, A11, A12, AA); strassen(n / 2, AA, B22, M2); add(n / 2, A21, A22, AA); strassen(n / 2, AA, B11, M3); sub(n / 2, B21, B11, BB); strassen(n / 2, A22, BB, M4); add(n / 2, A11, A22, AA); add(n / 2, B11, B22, BB); strassen(n / 2, AA, BB, M5); sub(n / 2, A12, A22, AA); add(n / 2, B21, B22, BB); strassen(n / 2, AA, BB, M6); sub(n / 2, A11, A21, AA); add(n / 2, B11, B12, BB); strassen(n / 2, AA, BB, M7); //C11 = M5 + M4 - M2 + M6 add(n / 2, M5, M4, AA); sub(n / 2, M6, M2, BB); add(n / 2, AA, BB, C11); //C12 = M1 + M2 add(n / 2, M1, M2, C12); //C21 = M3 + M4 add(n / 2, M3, M4, C21); //C22 = M5 + M1 - M3 - M7 sub(n / 2, M5, M3, AA); sub(n / 2, M1, M7, BB); add(n / 2, AA, BB, C22); for(i = 0; i < n / 2; i++) { for(j = 0; j < n / 2; j++) { C[i][j] = C11[i][j]; C[i][j + n / 2] = C12[i][j]; C[i + n / 2][j] = C21[i][j]; C[i + n / 2][j + n / 2] = C22[i][j]; } } } } int main(void) { int A[N][N], B[N][N], C[N][N]; printf("input A: \n"); for(int i = 0; i < N; i++) for(int j = 0; j < N; j++) scanf("%d", &A[i][j]); printf("input B: \n"); for(int i = 0; i < N; i++) for(int j = 0; j < N; j++) scanf("%d", &B[i][j]); strassen(N, A, B, C); printf("C:\n"); for(int i = 0; i < N; i++) for(int j = 0; j < N; j++) { printf("%d ", C[i][j]); if(j > 0 && j % 3 == 0) printf("\n"); } return 0; }
Strassen算法虽然把时间代价从O(n3)降到O(n2.81)，但是进一步分析，后者的系数比1大很多，当n比较小（如n<45）且矩阵中非零元素较少时，不宜采用此方法。Strassen算法仅当n很大的时候才有价值，因此，可以说这方面的研究更偏重于理论价值。
