我们曾经用内积定义了向量空间中一个元素的长度，它是几何长度的推广，利用这个长度的概念我们可以讨论极限、逼近的问题。在分析解决这些问题时最重要的是利用了长度的基本性质、非负性、齐次性和三角表达式。
向量的范数
范数的定义
几种常见的范数
- 2范数
设：
规定：
很容易证明这是范数，叫作向量的2范数。2范数在酉变换下不变。
- 1范数
设：
规定：
- 向量的∞ 范数
设：
规定：
- 向量的p 范数
- 其它：
规定：
则∣ ∣ f ∣ ∣ 是函数的范数
在连续函数的空间中，规定：
则∣ ∣ f ∣ ∣ 也是范数。
生成范数
在一个向量空间之中可以构造无穷多种范数，前面所述只是最常用的范数。下面给出从已知范数构造新的向量范数的方法。
- 例4 设：
规定
由于矩阵A 可以有无穷多，所以用这种方法可以构造无穷多种范数。
范数的等价
不收敛的序列叫作发散序列。
收敛是向量序列的性质，这种性质不应该受到度量方式的影响，也就是一个向量序列在一种范数的意义下收敛，那么它在另一种范数的意义下也应该收敛。一个空间中的序列在一种范数下收敛，那么它在另一种范数下也是收敛的。
同一个向量在不同的范数下长度一般不同，如：
相差很大，但是在讨论收敛时，效果也是一样的，但是要注意，这里讨论的是有限维的空间，无穷维空间可以不等价。
矩阵的范数
由于一个m × n 矩阵可以看作m × n 维向量，因此可以按照定义向量范数的方法来定义矩阵范数，但是矩阵之间还有矩阵的乘法，在研究矩阵范数时应该给予考虑。
方阵的范数
常用的范数
与向量范数的相容性
用矩阵范数来定义向量范数
从属范数
前面介绍了由矩阵范数定义向量范数的方法，接下来将要介绍由向量范数来定义矩阵范数的方法。
从属范数的计算
∣ ∣ A ∣ ∣ 1 是矩阵A AA的元素取模，然后把每一列元素加起来，取这些列和的最大值。而∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ 是把每行的模加起来，然后取最大值。
范数的应用举例
我的微信公众号名称：深度学习与先进智能决策
微信公众号ID：MultiAgent1024
公众号介绍：主要研究分享深度学习、机器博弈、强化学习等相关内容！期待您的关注，欢迎一起学习交流进步！
