[物理学与PDEs]第5章习题7 各向同性材料时稳定性条件的等价条件

在线性弹性时, 证明各向同性材料, 稳定性条件 (5. 27) 等价于 Lam\'e 常数满足

$$\bex \mu>0,\quad \lm+\cfrac{2}{3}\mu>0.  \eex$$

 

证明:

 

(1)  写出

$$\beex \bea \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl}e_{ij}e_{kl} &=\sum_{i,j,k,l}\sez{ \lm \delta_{ij}\delta_{kl} +\mu\sex{ \delta_{ik}\delta_{jl} +\delta_{il}\delta_{jk} }}e_{ij}e_{kl}\\ &=\lm \sum_ie_{ii}\sum_ke_{kk} +\mu\sum_{ij}e_{ij}e_{ij} +\mu\sum_{ij}e_{ij}e_{ji}\\ &=\lm\sex{\sum_ie_{ii}}^2 +2\mu\sum_{i,j}e_{ij}^2.  \eea \eeex$$

 

(2)  若 $\lm>0$, 则

$$\bex \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl}e_{ij}e_{kl}\geq 2\mu|{\bf E}|^2; \eex$$ 若 $\lm<0$, 则 $$\bex \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl}e_{ij}e_{kl}\geq 3\lm\sum_ie_{ii}^2+2\mu\sum_{i,j}e_{ij}^2 \geq (2\mu+3\lm)|{\bf E}|^2.  \eex$$

 

(3)  $\ra$: 取 ${\bf E}=\sex{\ba{ccc} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \ea}$, 有

$$\bex \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl}e_{ij}e_{kl}=4\mu>0; \eex$$ 取 ${\bf E}=\sex{\ba{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \ea}$, 有 $$\bex \sum_{i,j,k,l} a_{ijkl}e_{ij}e_{kl}=9\lm+6\mu>0.  \eex$$