数学基础从高一开始7、等式性质与不等式性质(重点作差法)

简介: 数学基础从高一开始7、等式性质与不等式性质(重点作差法)

初中代数中对等式与不等式的说明:



 

问题1:

常见的不等关系有哪些?你能用文字语言和符号语言表述吗?

问题2:

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

1) 某路段限速40 km/h;

解:设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h,限速40km/h就是v的大小不能超过40,于是0 <v≤40。

问题3:

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%;

解:由题意,得{f>=2.5%,p>=2.3%}

问题4:

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;

解:设△ABC的三条边为a,b, C,则a+b>c,a-b<C。

注: a+c> b,a-c< b等其它合理形式也正确。

问题5:

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短。

解:如图,设C是直线AB外的任意一点,CD⊥AB于点D,E是直线AB上不同于D的任意一点,连接线段CE,则CD<CE。

小结

用不等式表示实际问题中的不等关系的方法。

复习:

问题6:

你能用不等式表示并解决下面的问题吗?

某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本,据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万?

不等关系:销售总收入不低于20万。

解:设提价后每本杂志的定价为x元.

追问:解方程是主要依据是什么?类比解方程

你能找到解不等式的主要依据吗?

解方程的主要依据(等式性质)                        类比                        解不等式的主要依据(不等式性质)

从已知的不等式推出未知的不等式。

问题7:

如何比较两个式子的大小关系?

关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实:如果a -b是正数,那么a>b;如果a b等于0,那么a=b;如果a -b是负数,那么a<b.反过来也对。

作差法:比较两个实数(式子)大小关系的方法。

作差法

例1:比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的 大小关系。

分析:若要比较两者的大小,只需比较它们的差与0的关系。

解:

因为:(x+2)(x+3)- (x+1)(x+4)

=(x²+5x+6)- (x²+5x+4)

=2>0

所以:(x+2)(x+3)> (x+1)(x+4)

例2:你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗?

追问2:如果直角三角形的两条直角边边长相等(a= b),不等式a²+b²> 2ab还成立吗?

追问3: Va, b∈R,a²+b²≥2ab。这个猜想成立吗?请证明或证伪。

解:

a²+b²-2ab=(a- b)²≥0,

所以:a²+b²≥2ab。

当且仅当a=b时,等号成立。

总结:

等式性质与不等式性质

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