【附录】概率基本性质与法则的推导证明

公理

$$
\begin{aligned}
&P(\Omega) = 1\
&P(A) \ge 0, \forall A \in 2^\Omega\
&P(A \cup B) = P(A) + P(B), \forall A, B \in 2^\Omega, A \cap B = \emptyset
\end{aligned}
$$

1. $A \subseteq B \implies P(A) \leq P(B)$

证明： $\;$$\because A \subseteq B$

$\quad\qquad$$\therefore \exist S$，满足 $B = A \cup S$，其中 $A \cap S = \emptyset$

$\quad\qquad$根据公理(3)可得, $P(B) = P(A \cup S) = P(A) + P(S)$

$\quad\qquad$由公理(2)可知 $P(S) \ge 0$,

$\quad\qquad$$\therefore P(B) = P(A) + P(S) \ge P(A)$ ，即$P(A) \le P(B) \qquad \blacksquare$

2. $P(A \cap B) \leq \min(P(A), P(B))$

证明： $\;$设 $J$ 为 $A, B$ 的交集，即 $J = A \cap B$，则有 $J \subseteq A$ 且 $J \subseteq B$

$\quad\qquad$根据性质 $A \subseteq B \implies P(A) \leq P(B)$ 可得：

$\quad\qquad$$P(J) = P(A \cap B) \leq P(A)$;

$\quad\qquad$$P(J) = P(A \cap B) \leq P(B)$;

$\quad\qquad$综合上面两个等式可得，$P(A \cap B) \leq \min(P(A), P(B)) \qquad \blacksquare$

3. $P(A \cup B) \leq P(A) + P(B)$

证明： $\;$设 $B\rq \subseteq B$， $A \cap B\rq = \emptyset$，且 $A \cup B = A \cup B\rq$，

$\quad\qquad$$\because A \cap B\rq = \emptyset$

$\quad\qquad$$\therefore$ 根据公理（3）可得： $P(A \cup B) = P(A \cup B\rq) = P(A)+P(B\rq)$

$\quad\qquad$$\because B\rq \subseteq B$

$\quad\qquad$$\therefore$ 根据性质（2）可得：$P(B\rq) \leq P(B)$

$\quad\qquad$$\therefore P(A)+P(B\rq) \leq P(A)+P(B)$

$\quad\qquad$$\therefore P(A \cup B) \leq P(A)+P(B) \qquad \blacksquare$

4. $P(\Omega - A) = 1 - P(A)$

证明： $\;$$\because \Omega = (\Omega - A) \cup A, (\Omega - A) \cap A = \emptyset$

$\quad\qquad$$\therefore P(\Omega) = P((\Omega - A) \cup A) = P(\Omega - A) + P(A)$ （公理3）

$\quad\qquad$$\because P(\Omega) = 1$ (公理1)

$\quad\qquad$$\therefore 1 = P(\Omega - A) + P(A)$

$\quad\qquad$交换位置得 $P(\Omega - A) = 1 - P(A) \qquad \blacksquare$

5. 全概率法则

证明： $\;$$\because A_1, \dotsc, A_k$ 是一组不相交的事件

$\quad\qquad$$\therefore P(\bigcup_i A_i) = \sum_i P(A_i)$ （公理3）

$\quad\qquad$$\because \bigcup^k_{i=1} A_i = \Omega$

$\quad\qquad$$\therefore P(\Omega) = \sum_i P(A_i)$

$\quad\qquad$$\because P(\Omega) = 1$ (公理1)

$\quad\qquad$$\therefore \sum_i P(A_i) = 1 \qquad \blacksquare$