[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 高阶导数的一个表达式)

设 $f\in C^{n+1}(\bbR)$, 试证: 对 $\forall\ a\in\bbR$,

$$\bex \frac{\rd^n}{\rd x^n}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}=\frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}. \eex$$

 

证明: 对 $n$ 用数学归纳法. 当 $n=1$ 时,

$$\beex \bea \frac{\rd}{\rd x}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a} &=\lim_{x\to a}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)}{x-a}\\ &=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{(x-a)^2}\\ &=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)-f'(a)}{2(x-a)}\\ &=\frac{f''(a)}{2}. \eea \eeex$$ 假设结论在 $n$ 时成立, 则在 $n+1$ 时, $$\beex \bea \frac{\rd^{n+1}}{\rd x^{n+1}}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a} &=\frac{\rd^n}{\rd x^n}\sez{\frac{\rd}{\rd x}\sex{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}_{x=a}\\ &=\frac{\rd }{\rd x^n} \sez{ \frac{f'(x)-f'(a)}{x-a} -\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)}{x-a} }_{x=a}\\ &=\frac{(f')^{n+1}(a)}{n+1} -\frac{1}{n+1}\frac{\rd ^{n+1}}{\rd x^{n+1}}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}\quad\sex{\mbox{归纳假设}}. \eea \eeex$$ 于是 $$\bex \frac{\rd^{n+1}}{\rd x^{n+1}}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a} =\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}\cdot \frac{1}{n+1} f^{(n+2)}(a) =\frac{f^{(n+2)}(a)}{n+2}. \eex$$