设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 则对 $\forall\ x\in [a,b]$, 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $$\bex f(x)=\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)(x-b). \eex$$
提示: 对 $x\in (a,b)$, 考虑函数 $$\bex F(t)=\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)}(t-a)(t-b)-f(t),\quad t\in [a,b]. \eex$$ 则 $$\bex F(a)=F(x)=F(b)=0. \eex$$ 应用 Rolle 定理两次即得结论.
