设 f(x) 在 [a,b] 上二阶可微, 试证: 对任意 c∈(a,b), 存在 ξ∈(a,b) 使得 \bexf″(ξ)2=f(a)(a−b)(a−c)+f(b)(b−a)(b−c)+f(c)(c−a)(c−b).\eex
提示: 考虑函数 \beex \bea F(t)&=f(t)-\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}(t-b)(t-c)\\ &\quad-\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}(t-a)(t-c)\\ &\quad-\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}(t-a)(t-b), \eea \eeex 则 \bexF(a)=F(b)=F(c)=0.\eex 应用 Rolle 定理两次即得结论.
