[家里蹲大学数学杂志]第328期詹兴致矩阵论习题参考解答

简介: 说明:  1. 大部分是自己做的, 少部分是参考文献做的, 还有几个直接给出参考文献. 2. 如果您有啥好的想法, 好的解答, 热切地欢迎您告知我, 或者在相应的习题解答网页上回复. 哪里有错误, 也盼望您指出.

说明: 

1. 大部分是自己做的, 少部分是参考文献做的, 还有几个直接给出参考文献.

2. 如果您有啥好的想法, 好的解答, 热切地欢迎您告知我, 或者在相应的习题解答网页上回复. 哪里有错误, 也盼望您指出.

3. 毕竟大学时学过高等代数, 想多学点矩阵论的东西 (matrix=magic), 就先选这本书看看了.

 

 目录

         序言

第一章 预备知识

第二章 张量积与复合矩阵

第三章 Hermite 矩阵与优超关系

第四章 奇异值和酉不变范数

第五章 矩阵扰动

第六章 非负矩阵

第七章 符号模式

第八章 矩阵的应用

 

第一章 预备知识

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.1

1. 设 a1,,an 为正实数, 证明矩阵 \bex\sex1ai+ajn×n\eex

半正定.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.2

2. (Oldenburgere) 设 AMn, ρ(A) 表示 A 的谱半径, 即 A 的特征值的模的最大者. 证明: \bex\vlmkAk=0\lraρ(A)<1.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.3

3. 证明数值半径 w()Mn 上的一个范数.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.4

4. 证明数值半径 w() 和谱范数 \sen 满足如下关系: \bex12\senAw(A)\senA,AMn.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.5

5. (Gelfand) 设 AMn, 证明: \bexρ(A)=\vlmk\senAk1k.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.6

6. 设 AMm,n, BMn,m. 证明: \bex \sex{\ba{cc} AB&0\\ B&0 \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} 0&0\\ B&BA \ea} \eex

相似, 从而给出定理 1.14 的另一个证明.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.7

7. 设 AjMn, j=1,,m, m>n, 且 \dpsmj=1Aj 非奇异 (即可逆). 证明: 存在 S\sed1,2,,m 满足 |S|n\dpsjSAj 非奇异.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.8

8. 证明任何一个复方阵都酉相似于某个对角元素全部相等的矩阵.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.9 

9. 证明对任意的复方阵 A, \bexρ(A)w(A)\senA.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.10

10. 矩阵 A=(aij)Mn 称为严格对角占优, 如果 \bex|aii|>ji|aij|,i=1,,n.\eex

证明: 严格对角占优矩阵是可逆的.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.11

11.  (Gersgorin 圆盘定理) 用 σ(A) 表示 A=(aij)Mn 的特征值的集合, 记 \bexDi=\sedz\bbC; |zaii|ji|aij|,i=1,,n.\eex

证明: \bexσ(A)ni=1Di,\eex
并且如果这些圆盘 Di 中有 k 个与其余的 nk 个不相交, 则这 k 个圆盘的并集恰好含有 Ak 个特征值.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.12

12. (Sherman-Morrison-Woodbury 公式) 设 AMn, B,CMn,k 使得 I+CA1B 可逆, 其中 I 是单位阵. 证明 A+BC 可逆且 \bex(A+BC)1=A1A1B(I+CA1B)1CA1.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.13

13. (Li-Poon) 证明: 每个实方阵都可以写成 4 个实正交矩阵的线性组合, 即若 A 是个实方阵, 则存在实正交矩阵 Qi 和实数 ri, i=1,2,3,4, 使得 \bexA=r1Q1+r2Q2+r3Q3+r4Q4.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.14

14. 如果映射 f:MnMn 按某个固定的模式将 Mn 中的每个矩阵的元素重排, 则称 f 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变?

 

 

第二章 张量积与复合矩阵

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.1

1. 对于怎样的 AMm, BMn, AB=I?

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.2

2. 给出定理 2.4 的另一个证明.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.3

3. 设 A,BMn, A 正定, B 半正定且对角元素都是正数, 则 AB 正定.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.4

4. 设 A=\diag(A1,,Ak)Mn, 其中 AiMni, 且 σ(Ai)σ(Aj)=\vno, ij. 若 BMnAB=BA, 则 B=\diag(B1,,Bk)Mn, 其中 BiMni.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.5

5. 设 AMm, BMn, CMm,n. 若 σ(A)σ(B)=\vno, 则 \bex \sex{\ba{cc} A&C\\ 0&B \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}\mbox{ 相似}. \eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.6

6. (Embry) 我们说两个矩阵 X, Y 可交换是指乘法可交换, 即 XY=YX. 设 A,BMn 满足 σ(A)σ(B)=\vno. 如果 CMn, CA+B 可交换并且 CAB 可交换, 则 CAB 都可交换.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.7

7. (Marcus-Ree) 一个非负矩阵称为是双随机的, 若它的每行元素之和等于 1, 且它的每列元素之和也等于 1. 设 A=(aij)n 阶双随机矩阵, 则存在 1,2,,n 的一个排列 σ 使得对每个 i=1,,n, \bex a_{i\sigma(i)}\geq \sedd{\ba{ll} \cfrac{1}{k(k+1)},&n=2k,\\ \cfrac{1}{(k+1)^2},&n=2k+1. \ea} \eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.8

8. 设 kmn. 怎样的矩阵 AMm,n 的每条对角线恰好含有 k 个零元素?

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.9

9. 记 \dpsm=\sexnk. 复合矩阵映射 Ck():MnMm 是单射吗? 是满射吗?

 

第三章 Hermite 矩阵和优超关系

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.1

1. 设 AMn. 证明若 AA=A2, 则 A=A.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.2

2. 设 AMn, BMr,tA 的一个子矩阵. 则它们的奇异值满足 \bexsj(B)sj(A),j=1,,min\sedr,t.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.3

3. (Aronszajn) 设 \bex C=\sex{\ba{cc} A&X\\ X^*&B \ea} \eex

为 Hermite 矩阵, CMn, AMk. 设 A,B,C 的特征值分别为 \al1\alk, β1βnk, γ1γn. 则对于满足 i+j1n 的任意的 i,j, \bexγi+j1+γn\ali+βj.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.4

 

4. 设 x,y,u\bbRn 的分量都是递减的. 证明:

  

(1). 若 xy\sefx,u\sefy,u.

 

(2). 若 xwyu\bbRn+, 则 \sefx,u\sefy,u.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.5

5. 不用 Weierstrass 定理, 直接证明 Hermite 矩阵的函数运算 (3.6) 与特定的谱分解无关.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.6

6. 设 A,BMn, A 是正定矩阵, B 是 Hermite 矩阵. 则 \bexA+B 正定当且仅当 \lmj(A1B)>1,j=1,,n.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.7

7. 设 AMn 正定, 1kn. 则 \bexnj=1\lmj(A)=maxUU=IkdetUAU,nj=1\lmnj+1(A)=minUU=IkdetUAU,\eex

其中 UMn,k.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.8

8. 证明每个半正定矩阵都有唯一的半正定平方根, 即若 A0, 则存在唯一的 B0 满足 B2=A.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.9

9. 用公式 \bextr=sinrππ0sr1ts+t\rds\sex0<r<1\eex

证明定理 3.24.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.10

10. 设 A,B 是同阶半正定矩阵, 0s1. 证明: \bex\senAsBs\senABs.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.11

11. (Ky Fan) 对于 AMn, 记 A=(A+A)/2. 证明: \bex\lm(A)\lm(A),\eex

其中 \lm(A) 表示 A 的特征值作成的向量, \lm(A) 表取 A 的特征值的实部所得向量.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.12

12. (Webster) 设 A=(aij) 是有 k 个正元素的 n 阶双随机矩阵. 证明, 存在 1,2,,n 的一个排列 σ 使得 \bexni=11aiσ(i)k.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.13

13. (Caylay 变换) 记 i=1. 若 A 为 Hermite 矩阵, 则 \bexϕ(A)=(AiI)(A+iI)1\eex

是一个酉矩阵.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.14

14. 用 Hadamard 不等式 (3.5) 证明下面的不等式 (也称为 Hadamard 不等式): 设 A=(a1,,an)Mn, 则 \bex|detA|ni=1\senai,\eex

其中 \sen 表示列向量的欧氏范数.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.15

15. 设 Sn[a,b] 表示所有元素属于给定的区间 [a,b]n 阶实对称矩阵的集合. 对于 j=1,n 确定 \bexmax\sed\lmj(A); ASn[a,b] 和 min\sed\lmj(A); ASn[a,b],\eex

以及分别取到最大值和最小值的矩阵.

 

第四章 奇异值和酉不变范数

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.1

1. (Fan-Hoffman). 设 AMn, 记 A=(A+A)/2. 则 \bex\lmj(A)sj(A),j=1,,n.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.2

2. (Thompson). 设 A,BMn, 则存在酉矩阵 U,VMn 满足 \bex|A+B|U|A|U+V|B|V.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.3

3. GMn 称为一个秩 k 部分等距矩阵, 若 \bexs1(G)==sk(G)=1,sk+1(G)==sn(G)=0.\eex

证明对 XMn, \bexkj=1sj(X)=max\sed|\tr(XG)|;G 是个秩 k 部分等距矩阵, GMn.\eex
再用这个表达式证明定理 4.9.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.4

4. 设 A=(aij)Mn, 则 \bex\sex|a11|,,|ann|ws(A).\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.5

5. 设 A,BMn, 则 \bexsj(AB)\senAsj(B),sj(AB)\senBsj(A),j=1,,n.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.6

6. 设 A,BMn 半正定, 则 \bex s_j(A-B)\leq s_j\sex{ \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}},\quad j=1,\cdots,n. \eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.7

7. 设 A0Mn 正定, AiMn 半正定, i=1,,k, 则 \bex\trkj=1\sexji=0Ai2Aj<\trA10.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.8

8. 设 p,q 为正实数, 满足 \dps1p+1q=1, 设 x,y\bbRn+, 则对 \bbRn 上的任何对称规度函数 φ\bexφ(xy)[φ(xp)]1p[φ(yq)]1q,\eex

其中 xp 表示将 x 的每个分量取 p 次方所得的向量.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.9 

9. 设 \senMn 上的酉不变范数, 则 \sen 是次可乘当且仅当 \bex\sen\diag(1,0,,0)1.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.10

10. 设 A,BMn 并且 AB 为 Hermite 矩阵, 则对任何酉不变范数 \bex\senAB\sen(BA).\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.11

11. Mn 上的范数 \sen 称为是对称的, 若 \bex\senABC\senA\senC\senB, A,B,CMn.\eex

证明: \sen 对称当且仅当 \sen 是酉不变的.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.12

12. 设 p,q 为正实数, 满足 \dps1p+1q=1, 则对 A,BMn 和酉不变范数有 \bex\senAB\sen|A|p1p\sen|B|q1q.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.13 

13. (Bhatia-Davis) 设 A,B,XMn, 则 \bex\senAXB12\senAAX+XBB\eex

对任何酉不变范数成立.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.14

14. 设 A,BMn, 则对 Mn 上的任何酉不变范数有 \bex \frac{1}{2}\sen{\sex{\ba{cc} A+B&0\\ 0&A+B \ea}}\leq \sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}} \leq \sen{\sex{\ba{cc} |A|+|B|&0\\ 0&0 \ea}}. \eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.15

15. (Fan-Hoffman) 设 A,HMn, 其中 H 为 Hermite 矩阵, 则 \bex\senAA\senAH\eex

对任何酉不变范数成立.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.16

16. (Fan-Hoffman) 设 AMn, A=UP 为极分解, U 为酉矩阵, P 为半正定矩阵. 若 WMn 为酉矩阵, 则 \bex\senAU\senAW\senA+U\eex

对任何酉不变范数成立.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.17

17. (Ando-Zhan) 设 A,BMn 半正定, \sen 是一个酉不变范数, 则 \bex\sen(A+B)r\senAr+Br,(0<r1),\eex

\bex\sen(A+B)r\senAr+Br,(1r<).\eex

 

第五章 矩阵扰动

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.1

1. AMn 称为正交投影矩阵如果 A 是 Hermite 矩阵且幂等: \bexA=A=A2.\eex

证明: 若 A,BMn 为正交投影矩阵, 则 \senAB1.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.2

2. 用 \imA 表示 AMn 的像空间: \bex\imA=\sedAx;x\bbCn.\eex

A,BMn 为正交投影矩阵, 满足 \bex\senAB<1.\eex
证明: \bexdim\imA=dim\imB.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.3

3. (Bhatia-Davis) 设 A,BMn 为酉矩阵, 则 \bex\rd(σ(A),σ(B))\senAB.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.4

4. (G.M. Krause) 令 \bex\lm1=1,\lm2=4+53I13,\lm3=1+23i13,v=\sex58,12,18T.\eex

再令 \bexA=\diag(\lm1,\lm2,\lm3),U=I2vvT,B=UAU,\eex
U 为酉矩阵, A,B 为正规矩阵. 验证 \bex\rd(σ(A),σ(B))=2813,\senAB=2713.\eex
于是, 对于这一对正规矩阵 A,B, \bex\rd(σ(A)),σ(B))>\senAB.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.5

5. (Friedland) 给定 AMn, \lmi\bbC, i=1,,n. 证明: 存在对角矩阵 DMn 使得 σ(A+D)=\sed\lm1,,\lmn, 并且满足上述条件的对角矩阵 D 只有有限多个.

 

第六章 非负矩阵

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1

1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负?

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.2 

2. 设 A 是个非负方阵且存在一个正整数 p 使得 Ap>0, 则对所有正整数 qp, Aq>0.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.3

3. 设 \lm 是一个复数. 证明: 存在非负方阵 A 使得 \lmA 的一个特征值.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.4

4. 设 A 是个不可约非负方阵, 0t1, 则 \bexρ[tA+(1t)AT]ρ(A).\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.5

5. (Levinger, 1970) 设 A 是个不可约非负方阵, 则函数 \bexf(t)=ρ[tA+(1t)AT]\eex

[0,1/2] 上递增, 在 [1/2,1] 上递减.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.6

6. 设 A 是个非负本原方阵, 则 \bex\vlmk[ρ(A)1A]k=xyT,\eex

其中 xy 分别是 AAT 的 Perron 根, 满足 xyT=1.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.7

7. 设 A 是个非负幂零矩阵, 即存在正整数 p 使得 Ap=0. 则 A 置换相似于一个上三角矩阵.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.8

8. 设 A 是个不可约奇异 M-矩阵, 则存在正向量 x 满足 Ax=0.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.9

9. (Hopf) 将 n 阶正矩阵 A=(aij) 的特征值按模从大到小排列为 \bexρ(A)>|\lm2||\lmn|,\eex

并记 \bex\al=max\sedaij;1i,jn,β=minmax\sedaij;1i,jn.\eex
\bex|\lm2|ρ(A)\alβ\al+β.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.10

10. 非本原指标为 kn 阶不可约非负矩阵的正元素的个数可能是哪些数呢?

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.11

11. (Gasca-Pena) 一个 n 阶可逆矩阵 A 是全面非负的当且仅当对每个 1kn, \bexdetA[1,2,,k]>0,\eex

\bexdetA[\al1,2,,k]0,detA[1,2,,k\al]0, \alQk,n.\eex

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.12

12. 设 A 是个 n 阶振荡矩阵, 则 An1 是全面正矩阵.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.13

13. (Sinkhorn) 设 A 是一个方的正矩阵, 则存在对角元素为正数的两个对角矩阵 D1D2 使得 D1AD2 为双随机矩阵 (doubly stochastic matrix).

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

14. (Shao) 设非负方阵 A 具有 (6.22) 的形式并且 A 没有零行也没有零列. 证明: A 不可月且非本原指标为 k 当且仅当乘积 \bexA12A23Ak1,kAk1\eex

是本原矩阵.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.15

15. (Hu-Li-Zhan) 秩为 kn 阶对称 01 矩阵中 1 的个数可能是哪些数呢?

 

 

 

第七章 符号模式

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.1

 

1. (Maybee) 设 A 是一个树符号模式. 证明:

 

 

 

(1). 若 A 的每个简单 2-圈都是正的, 则对于任何 BQ(A), 存在可逆的实对角矩阵 D 使得 D1AD 为对称矩阵.

 

 

 

(2). 若 A 的每个对焦元素为 0A 的每个 2-圈都是负的, 则对于任何 BQ(A), 存在可逆的实对角矩阵 D 使得 D1AD 为反对称矩阵.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.2

2. 证明引理 7.13.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.3

3. 一个 n 阶符号模式方阵 A 称为谱任意模式, 如果每个首一的 n 次实多项式都是 Q(A) 中某个矩阵的特征多项式. 研究谱任意模式.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.4

4. 怎样的符号模式要求所有特征值都互不相同呢?

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.5

5. 元素属于 \sed0, 的矩阵称为零模式矩阵. 设 A 是零模式矩阵, 用 Q\bbF(A) 记元素属于域 \bbF 的具有零模式 A 的矩阵的集合, 即若 BQF(A), B=(bij), A=(aij), 则 bij=0 当且仅当 aij=0. 设 \bbF 的元素不少于 3 个. 证明: Q\bbF(A) 中的每个矩阵非奇异当且仅当 A 置换等价于一个对角元素非零的上三角矩阵.

 

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.6

6. 举例说明: 存在那样的实方阵 A, A 的零元素的个数大于 A 的 Jordan 标准形的零元素的个数.

 

 

第八章 矩阵的应用

 

本章没有习题.

 

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