说明:
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目录
第一章 预备知识
第二章 张量积与复合矩阵
第三章 Hermite 矩阵与优超关系
第四章 奇异值和酉不变范数
第五章 矩阵扰动
第六章 非负矩阵
第七章 符号模式
第八章 矩阵的应用
1. 设 a1,⋯,an 为正实数, 证明矩阵 \bex\sex1ai+ajn×n\eex
2. (Oldenburgere) 设 A∈Mn, ρ(A) 表示 A 的谱半径, 即 A 的特征值的模的最大者. 证明: \bex\vlmkAk=0\lraρ(A)<1.\eex
3. 证明数值半径 w(⋅) 是 Mn 上的一个范数.
4. 证明数值半径 w(⋅) 和谱范数 \sen⋅∞ 满足如下关系: \bex12\senA∞≤w(A)≤\senA∞,A∈Mn.\eex
5. (Gelfand) 设 A∈Mn, 证明: \bexρ(A)=\vlmk\senAk1k∞.\eex
6. 设 A∈Mm,n, B∈Mn,m. 证明: \bex \sex{\ba{cc} AB&0\\ B&0 \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} 0&0\\ B&BA \ea} \eex
7. 设 Aj∈Mn, j=1,⋯,m, m>n, 且 \dps∑mj=1Aj 非奇异 (即可逆). 证明: 存在 S⊂\sed1,2,⋯,m 满足 |S|≤n 且 \dps∑j∈SAj 非奇异.
8. 证明任何一个复方阵都酉相似于某个对角元素全部相等的矩阵.
9. 证明对任意的复方阵 A, \bexρ(A)≤w(A)≤\senA∞.\eex
10. 矩阵 A=(aij)∈Mn 称为严格对角占优, 如果 \bex|aii|>∑j≠i|aij|,i=1,⋯,n.\eex
11. (Gersgorin 圆盘定理) 用 σ(A) 表示 A=(aij)∈Mn 的特征值的集合, 记 \bexDi=\sedz∈\bbC; |z−aii|≤∑j≠i|aij|,i=1,⋯,n.\eex
12. (Sherman-Morrison-Woodbury 公式) 设 A∈Mn, B,C∈Mn,k 使得 I+C∗A−1B 可逆, 其中 I 是单位阵. 证明 A+BC∗ 可逆且 \bex(A+BC∗)−1=A−1−A−1B(I+C∗A−1B)−1C∗A−1.\eex
13. (Li-Poon) 证明: 每个实方阵都可以写成 4 个实正交矩阵的线性组合, 即若 A 是个实方阵, 则存在实正交矩阵 Qi 和实数 ri, i=1,2,3,4, 使得 \bexA=r1Q1+r2Q2+r3Q3+r4Q4.\eex
14. 如果映射 f:Mn→Mn 按某个固定的模式将 Mn 中的每个矩阵的元素重排, 则称 f 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变?
1. 对于怎样的 A∈Mm, B∈Mn, A⊗B=I?
2. 给出定理 2.4 的另一个证明.
3. 设 A,B∈Mn, A 正定, B 半正定且对角元素都是正数, 则 A∘B 正定.
4. 设 A=\diag(A1,⋯,Ak)∈Mn, 其中 Ai∈Mni, 且 σ(Ai)∩σ(Aj)=\vno, i≠j. 若 B∈Mn 且 AB=BA, 则 B=\diag(B1,⋯,Bk)∈Mn, 其中 Bi∈Mni.
5. 设 A∈Mm, B∈Mn, C∈Mm,n. 若 σ(A)∩σ(B)=\vno, 则 \bex \sex{\ba{cc} A&C\\ 0&B \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}\mbox{ 相似}. \eex
6. (Embry) 我们说两个矩阵 X, Y 可交换是指乘法可交换, 即 XY=YX. 设 A,B∈Mn 满足 σ(A)∩σ(B)=\vno. 如果 C∈Mn, C 与 A+B 可交换并且 C 与 AB 可交换, 则 C 与 A 和 B 都可交换.
7. (Marcus-Ree) 一个非负矩阵称为是双随机的, 若它的每行元素之和等于 1, 且它的每列元素之和也等于 1. 设 A=(aij) 为 n 阶双随机矩阵, 则存在 1,2,⋯,n 的一个排列 σ 使得对每个 i=1,⋯,n, \bex a_{i\sigma(i)}\geq \sedd{\ba{ll} \cfrac{1}{k(k+1)},&n=2k,\\ \cfrac{1}{(k+1)^2},&n=2k+1. \ea} \eex
8. 设 k≤m≤n. 怎样的矩阵 A∈Mm,n 的每条对角线恰好含有 k 个零元素?
9. 记 \dpsm=\sexnk. 复合矩阵映射 Ck(⋅):Mn→Mm 是单射吗? 是满射吗?
1. 设 A∈Mn. 证明若 AA∗=A2, 则 A∗=A.
2. 设 A∈Mn, B∈Mr,t 是 A 的一个子矩阵. 则它们的奇异值满足 \bexsj(B)≤sj(A),j=1,⋯,min\sedr,t.\eex
3. (Aronszajn) 设 \bex C=\sex{\ba{cc} A&X\\ X^*&B \ea} \eex
4. 设 x,y,u∈\bbRn 的分量都是递减的. 证明:
(1). 若 x≺y 则 \sefx,u≤\sefy,u.
(2). 若 x≺wy 且 u∈\bbRn+, 则 \sefx,u≤\sefy,u.
5. 不用 Weierstrass 定理, 直接证明 Hermite 矩阵的函数运算 (3.6) 与特定的谱分解无关.
6. 设 A,B∈Mn, A 是正定矩阵, B 是 Hermite 矩阵. 则 \bexA+B 正定当且仅当 \lmj(A−1B)>−1,j=1,⋯,n.\eex
7. 设 A∈Mn 正定, 1≤k≤n. 则 \bexn∏j=1\lmj(A)=maxU∗U=IkdetU∗AU,n∏j=1\lmn−j+1(A)=minU∗U=IkdetU∗AU,\eex
8. 证明每个半正定矩阵都有唯一的半正定平方根, 即若 A≥0, 则存在唯一的 B≥0 满足 B2=A.
9. 用公式 \bextr=sinrππ∫∞0sr−1ts+t\rds\sex0<r<1\eex
10. 设 A,B 是同阶半正定矩阵, 0≤s≤1. 证明: \bex\senAsBs∞≤\senABs∞.\eex
11. (Ky Fan) 对于 A∈Mn, 记 ℜA=(A+A∗)/2. 证明: \bexℜ\lm(A)≺\lm(ℜA),\eex
12. (Webster) 设 A=(aij) 是有 k 个正元素的 n 阶双随机矩阵. 证明, 存在 1,2,⋯,n 的一个排列 σ 使得 \bexn∑i=11aiσ(i)≤k.\eex
13. (Caylay 变换) 记 i=√−1. 若 A 为 Hermite 矩阵, 则 \bexϕ(A)=(A−iI)(A+iI)−1\eex
14. 用 Hadamard 不等式 (3.5) 证明下面的不等式 (也称为 Hadamard 不等式): 设 A=(a1,⋯,an)∈Mn, 则 \bex|detA|≤n∏i=1\senai,\eex
15. 设 Sn[a,b] 表示所有元素属于给定的区间 [a,b] 的 n 阶实对称矩阵的集合. 对于 j=1,n 确定 \bexmax\sed\lmj(A); A∈Sn[a,b] 和 min\sed\lmj(A); A∈Sn[a,b],\eex
1. (Fan-Hoffman). 设 A∈Mn, 记 ℜA=(A+A∗)/2. 则 \bex\lmj(ℜA)≤sj(A),j=1,⋯,n.\eex
2. (Thompson). 设 A,B∈Mn, 则存在酉矩阵 U,V∈Mn 满足 \bex|A+B|≤U|A|U∗+V|B|V∗.\eex
3. G∈Mn 称为一个秩 k 部分等距矩阵, 若 \bexs1(G)=⋯=sk(G)=1,sk+1(G)=⋯=sn(G)=0.\eex
4. 设 A=(aij)∈Mn, 则 \bex\sex|a11|,⋯,|ann|≺ws(A).\eex
5. 设 A,B∈Mn, 则 \bexsj(AB)≤\senA∞sj(B),sj(AB)≤\senB∞sj(A),j=1,⋯,n.\eex
6. 设 A,B∈Mn 半正定, 则 \bex s_j(A-B)\leq s_j\sex{ \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}},\quad j=1,\cdots,n. \eex
7. 设 A0∈Mn 正定, Ai∈Mn 半正定, i=1,⋯,k, 则 \bex\trk∑j=1\sexj∑i=0Ai−2Aj<\trA−10.\eex
8. 设 p,q 为正实数, 满足 \dps1p+1q=1, 设 x,y∈\bbRn+, 则对 \bbRn 上的任何对称规度函数 φ 有 \bexφ(x∘y)≤[φ(xp)]1p[φ(yq)]1q,\eex
9. 设 \sen⋅ 是 Mn 上的酉不变范数, 则 \sen⋅ 是次可乘当且仅当 \bex\sen\diag(1,0,⋯,0)≥1.\eex
10. 设 A,B∈Mn 并且 AB 为 Hermite 矩阵, 则对任何酉不变范数 \bex\senAB≤\senℜ(BA).\eex
11. Mn 上的范数 \sen⋅ 称为是对称的, 若 \bex\senABC≤\senA∞\senC∞\senB,∀ A,B,C∈Mn.\eex
12. 设 p,q 为正实数, 满足 \dps1p+1q=1, 则对 A,B∈Mn 和酉不变范数有 \bex\senAB≤\sen|A|p1p\sen|B|q1q.\eex
13. (Bhatia-Davis) 设 A,B,X∈Mn, 则 \bex\senAXB∗≤12\senA∗AX+XB∗B\eex
14. 设 A,B∈Mn, 则对 Mn 上的任何酉不变范数有 \bex \frac{1}{2}\sen{\sex{\ba{cc} A+B&0\\ 0&A+B \ea}}\leq \sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}} \leq \sen{\sex{\ba{cc} |A|+|B|&0\\ 0&0 \ea}}. \eex
15. (Fan-Hoffman) 设 A,H∈Mn, 其中 H 为 Hermite 矩阵, 则 \bex\senA−ℜA≤\senA−H\eex
16. (Fan-Hoffman) 设 A∈Mn, A=UP 为极分解, U 为酉矩阵, P 为半正定矩阵. 若 W∈Mn 为酉矩阵, 则 \bex\senA−U≤\senA−W≤\senA+U\eex
17. (Ando-Zhan) 设 A,B∈Mn 半正定, \sen⋅ 是一个酉不变范数, 则 \bex\sen(A+B)r≤\senAr+Br,(0<r≤1),\eex
1. A∈Mn 称为正交投影矩阵如果 A 是 Hermite 矩阵且幂等: \bexA∗=A=A2.\eex
2. 用 \imA 表示 A∈Mn 的像空间: \bex\imA=\sedAx;x∈\bbCn.\eex
3. (Bhatia-Davis) 设 A,B∈Mn 为酉矩阵, 则 \bex\rd(σ(A),σ(B))≤\senA−B∞.\eex
4. (G.M. Krause) 令 \bex\lm1=1,\lm2=4+5√3I13,\lm3=−1+2√3i13,v=\sex√58,12,√18T.\eex
5. (Friedland) 给定 A∈Mn, \lmi∈\bbC, i=1,⋯,n. 证明: 存在对角矩阵 D∈Mn 使得 σ(A+D)=\sed\lm1,⋯,\lmn, 并且满足上述条件的对角矩阵 D 只有有限多个.
1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负?
2. 设 A 是个非负方阵且存在一个正整数 p 使得 Ap>0, 则对所有正整数 q≥p, Aq>0.
3. 设 \lm 是一个复数. 证明: 存在非负方阵 A 使得 \lm 是 A 的一个特征值.
4. 设 A 是个不可约非负方阵, 0≤t≤1, 则 \bexρ[tA+(1−t)AT]≥ρ(A).\eex
5. (Levinger, 1970) 设 A 是个不可约非负方阵, 则函数 \bexf(t)=ρ[tA+(1−t)AT]\eex
6. 设 A 是个非负本原方阵, 则 \bex\vlmk[ρ(A)−1A]k=xyT,\eex
7. 设 A 是个非负幂零矩阵, 即存在正整数 p 使得 Ap=0. 则 A 置换相似于一个上三角矩阵.
8. 设 A 是个不可约奇异 M-矩阵, 则存在正向量 x 满足 Ax=0.
9. (Hopf) 将 n 阶正矩阵 A=(aij) 的特征值按模从大到小排列为 \bexρ(A)>|\lm2|≥⋅≥|\lmn|,\eex
10. 非本原指标为 k 的 n 阶不可约非负矩阵的正元素的个数可能是哪些数呢?
11. (Gasca-Pena) 一个 n 阶可逆矩阵 A 是全面非负的当且仅当对每个 1≤k≤n, \bexdetA[1,2,⋯,k]>0,\eex
12. 设 A 是个 n 阶振荡矩阵, 则 An−1 是全面正矩阵.
13. (Sinkhorn) 设 A 是一个方的正矩阵, 则存在对角元素为正数的两个对角矩阵 D1 和 D2 使得 D1AD2 为双随机矩阵 (doubly stochastic matrix).
14. (Shao) 设非负方阵 A 具有 (6.22) 的形式并且 A 没有零行也没有零列. 证明: A 不可月且非本原指标为 k 当且仅当乘积 \bexA12A23⋯Ak−1,kAk1\eex
15. (Hu-Li-Zhan) 秩为 k 的 n 阶对称 0−1 矩阵中 1 的个数可能是哪些数呢?
1. (Maybee) 设 A 是一个树符号模式. 证明:
(1). 若 A 的每个简单 2-圈都是正的, 则对于任何 B∈Q(A), 存在可逆的实对角矩阵 D 使得 D−1AD 为对称矩阵.
(2). 若 A 的每个对焦元素为 0 且 A 的每个 2-圈都是负的, 则对于任何 B∈Q(A), 存在可逆的实对角矩阵 D 使得 D−1AD 为反对称矩阵.
2. 证明引理 7.13.
3. 一个 n 阶符号模式方阵 A 称为谱任意模式, 如果每个首一的 n 次实多项式都是 Q(A) 中某个矩阵的特征多项式. 研究谱任意模式.
4. 怎样的符号模式要求所有特征值都互不相同呢?
5. 元素属于 \sed0,∗ 的矩阵称为零模式矩阵. 设 A 是零模式矩阵, 用 Q\bbF(A) 记元素属于域 \bbF 的具有零模式 A 的矩阵的集合, 即若 B∈QF(A), B=(bij), A=(aij), 则 bij=0 当且仅当 aij=0. 设 \bbF 的元素不少于 3 个. 证明: Q\bbF(A) 中的每个矩阵非奇异当且仅当 A 置换等价于一个对角元素非零的上三角矩阵.
6. 举例说明: 存在那样的实方阵 A, A 的零元素的个数大于 A 的 Jordan 标准形的零元素的个数.
本章没有习题.